MODELOS CONTÍNUOS E DISCRETOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ [pic 1]

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

CURSO: ENGENHARIA MECÂNICA

DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

PROFESSOR : ELIZABETE CARDOSO MACHADO

MODELOS CONTÍNUOS E DISCRETOS

ANA LÍVIA FORMIGA LEITE

TERESINA-PI

JUNHO DE 2015

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MODELOS DISCRETOS E CONTÍNUOS

Um modelo de probabilidade descreve matematicamente um fenômeno aleatório da seguinte maneira: primeiramente, identifica os valores da variável aleatória e, depois, associa a cada um deles o valor da respectiva probabilidade. Os modelos discretos possuem a soma das probabilidades associadas a cada valor da variável aleatória igual a 1. Já os modelos contínuos possuem a área total compreendida entre o gráfico da função densidade e o eixo x equivalente a 1. A seguir, serão expostos os principais tipos de cada modelo.

1. Modelos Discretos

1. Distribuição binomial

Para explicar o modelo binomial uma introdução de uma sequência de ensaios de Bernoulli é necessária. Tal sequência é definida por meio das seguintes condições:

Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominado sucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F). Os ensaios são independentes. A probabilidade de sucesso(p) é a mesma para cada ensaio. A probabilidade de falha será denotada por 1-p. Para um experimento que consiste na realização de [pic 2] ensaios independentes de Bernoulli, o espaço amostral pode ser considerado como o conjunto em que cada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F). A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos [pic 3] primeiros ensaios e falhas nos [pic 4] ensaios seguintes é [pic 5]

Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com [pic 6] sucessos e [pic 7] falhas. O número de pontos do espaço amostral que satisfaz essa condição é igual ao número de maneiras de escolher [pic 8] ensaios para a ocorrência de sucesso dentre o total de [pic 9] ensaios, pois nos [pic 10] restantes deverão ocorrer falhas. Este número é igual ao número de combinações de [pic 11] elementos tomados [pic 12] a [pic 13], ou seja,

[pic 14]

 Ou seja, para [pic 15]:

[pic 16]

 Definição 1.1:

Seja [pic 17] o número de sucessos obtidos na realização de [pic 18] ensaios de Bernoulli independentes. [pic 19] tem distribuição binomial com parâmetros [pic 20] e [pic 21], em que [pic 22] é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função de probabilidade for dada por

[pic 23]

1.2 Distribuição de Poisson

Quando o número de ensaios [pic 24] é grande ([pic 25]) e [pic 26] é pequeno ([pic 27]), no cálculo da função binomial, há dificuldades, pois, para [pic 28] muito grande e [pic 29] pequeno, fica relativamente difícil calcularmos a probabilidade de [pic 30] sucessos a partir do modelo binomial, isto é, utilizando a função de probabilidade

[pic 31]

Que é igual a:

[pic 32]

Definição 1.2:

Uma variável aleatória discreta [pic 33] segue a distribuição de Poisson com parâmetro [pic 34], [pic 35], se sua função de probabilidade for dada por

[pic 36]

 Utilizamos a notação [pic 37] ou [pic 38]. O parâmetro [pic 39] indica a taxa de ocorrência por unidade medida.

1.3 Distribuição geométrica

Uma sequência ilimitada de ensaios de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p em cada ensaio. Sendo sucesso por  [pic 40] e falha por [pic 41]. O Ensaio é realizado até que se obtenha sucesso.

Um elemento típico desse espaço amostral é uma sequência de [pic 42] em que nos [pic 43] primeiros ensaios temos [pic 44] e na [pic 45]-ésima temos S.

A distribuição geométrica apresenta duas parametrizações importantes, que têm interpretações distintas. Uma das parametrizações da função geométrica conta o número de falhas até que ocorra o primeiro sucesso. Nessa parametrização podemos incluir o zero como sendo um possível resultado, pois podemos ter sucesso já no primeiro ensaio de Bernoulli. 

A segunda parametrização da geométrica conta o número de ensaios de bernoulli necessário para se obter um sucesso. Assim nessa parametrização não é possível se ter o zero, portanto nessa parametrização da geométrica o domínio será os números naturais sem o zero. 

Definição 1.3:

Seja [pic 46] a variável aleatória que fornece o número de falhas até o primeiro sucesso. A variável [pic 47] tem distribuição Geométrica com parâmetro[pic 48], [pic 49], se sua função de probabilidade é dada por

[pic 50]

O evento [pic 51] ocorre se, e somente se, ocorrem somente falhas nos [pic 52] primeiros ensaios e sucesso no [pic 53]-ésimo ensaio.