TRABALHO DE PROBILIDADE E ESTATÍSTISCA: PESQUISA SOBRE O CONTEUDO DE COMBINATÓRIA

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LUCAS DOS SANTOS MARQUES

        

TRABALHO DE PROBILIDADE E ESTATÍSTISCA: PESQUISA SOBRE O CONTEUDO DE COMBINATÓRIA

MANAUS-AM

2019

        

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................03

1.1 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM......................................................03

1.2 ARRANJOS......................................................................................................................06

1.2.1 ARRANJOS SIMPLES.................................................................................................06

1.2.1 ARRANJOS COM REPETIÇÃO................................................................................07

1.3 COMBINAÇÃO ..............................................................................................................07

1.3.2 COMBINAÇÃO SIMPLES..........................................................................................07

1.3.2 COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO.........................................................................08

1.4 PERMULTAÇÃO ...........................................................................................................09

1.4.1 PERMULTAÇÃO SIMPLES.......................................................................................09

1.4.1 PERMULTAÇÃO COM REPETIÇÃO......................................................................10

REFERÊNCIAS.....................................................................................................................11

1. INTRODUÇÃO

A Análise Combinatória é a área da Matemática que tem por objetivo analisar as possibilidades e combinar elementos, finitos, de um grupo sob certas circunstancias. É ainda responsável por formular procedimentos algorítmicos que permitam a resolução de problemas envolvendo contagem e possibilidades.

        Embora a Análise Combinatória forneça processos e técnicas geris que permitem atacar problemas específicos, a verdade é que a resolução de um problema combinatório exige engenhosidade e compreensão do enunciado.

        Os tipos de agrupamentos visto durante o ensino médio são arranjo, combinação e permutação, todos eles tendo como base o Princípio Fundamental da Contagem.

1. Princípio Fundamental da Contagem        

O ponto de partida para a enunciar o princípio fundamental da contagem é a construção de uma árvore (que se assemelha a um emaranhado ordenado de grafos) chamada de Árvore de Possibilidades. Esta árvore recebe este nome por que sua construção é feita a partir de um troco e de galhos (ramos) que estão a ele ligados, e os galhos formados a partir do tronco darão origem a novos ramos até que o numero de “galhos” acabe, que também pode ser visto como o fim de possibilidades. O que se pode considerar dessa construção é que cada ramo dá origem a mesma quantidade de ramos, para obter todas a possibilidades formadas basta somar as a quantidade de “galhos” , que será um soma de parcelas iguais ou uma multiplicação onde a quantidade de parcelas é a quantidade de ramos no nível anterior. A partir da ideia gerada pela árvore de possibilidades é possível anunciar o Princípio multiplicativo ou Principio Fundamental da Contagem.

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Árvore com 3 níveis, onde cada ramo do nível da origem à dois novos ramos e totalizam 4 possibilidades 2+2 ou 2x2  = 4

Para enunciar o Princípio Fundamental da Contagem será proposto um problema.

Na Escola Normal Superior os banheiros do térreo estão em manutenção, restando para uso apenas os DOIS banheiros do primeiro andar que pode ser acessado por DUAS escadas. Ivan depois de almoçar quer ir ao banheiro, de quantas formas ele pode acessar um dos banheiros?

Ilustração do problema:

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Para verificarmos a quantidade de formas, possibilidades, de formas que uma pessoa pode ir da entrada até um dos banheiros, pode-se fazer o Diagrama da Árvore e verificar quantas grafos restam no final.[pic 6]

A partir da construção da Arvore de Possibilidades do problema, constata-se que a árvore tem 3 níveis e a partir do primeiro cada nível dá origem a outros dois, e ainda que há 4 possibilidades.

A construção do diagrama da Arvore é eficaz para problemas onde a quantidade de objetos do conjunto a ser analisado é pequena. Imagine um problema que você tenha um conjunto com mais de 1000 objetos, é inviável a construção de uma Arvore de possibilidade para este caso, por isso é preciso um método que auxilie a contar as possibilidades para quantidade elevados, ou não, de objetos de um conjunto. Tal princípio é o Princípio Fundamental da Contagem ou Princípio Multiplicativo.

Quando um evento é composto por n etapas independentes, de tal modo que as possibilidades da primeira etapa é x e as possibilidades da segunda etapa é y, resulta no número total de possiblidades de o evento ocorrer, dado pelo produto entre x e y. Em resumo, o Princípio Multiplicativo, multiplica o número de opções entre as escolhas que lhe são apresentadas.

Eemplo1: Uma lanchonete o oferece 6 tipos de sanduiches, 4 tipos de sucos e 5 tipos de trufas,  Quantas são as formas que uma pessoa pode perdir um lanche com apenas um item de cada categoria?

        Uma forma mais direta de resolver o problema é aplicar o principio multiplicativo para todas as possibilidade de cada categoría. Assim ficaria a seguinte operação; 6 x 4 x 5 = 120 possiblidades.

        Exemplo2: Em um jogo de moedas é feito um total de 6 lançamento quantas são as combinações existentes após os 6 lançamentos?

        RESPOSTA: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 =  = 64 combinações.[pic 7]

Ainda no estudo do P.P.F (Princípio Fundamental da Contagem) há casos em que os elementos a serem analisados pertencem ao mesmo conjunto, mas não podem ser repetidos ou contados mais de uma vez. É com essa problemática que é possível definir a notação de fatorial de um número  e é denotada por  , que é o produto dos n fatores consecutivos maiores que 1 e menores ou iguais a   o que em forma matemática é . [pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]