DETERMINAÇÃO DA VISCOSIDADE: MÉTODOS DE STOKES E DO COPO FORD

[pic 1]

Faculdade de Engenharia Mecânica

Departamento de Energia

EM 847  - LABORATÓRIO DE CALOR   E   FLUIDOS

DETERMINAÇÃO DA VISCOSIDADE:

MÉTODOS DE STOKES E DO COPO FORD

1. INTRODUÇÃO

A viscosidade é uma das variáveis que caracteriza reologicamente uma substância. Num sentido amplo, entende-se por propriedade reológica aquela que especifica a deformação ou a taxa de deformação que uma substância apresenta quando sujeita a uma tensão.

Dependendo do comportamento reológico da substância pode-se classificá-la em puramente viscosa ou elástica. Esta classificação baseia-se em modelos lineares que relacionam a deformação à tensão aplicada no material. O modelo para líquidos deve-se a Sir Isaac Newton (1642-1727), Eq. (1a), e o modelo para sólidos a Robert Hooke (1635-1703) , Eq. (1b):

        [pic 2]         (1a)

        [pic 3],        (1b)

Na primeira equação, a constante de proporcionalidade μ é denominada de viscosidade dinâmica (unidade [Pa.s] ou [kg/s/m]). Na segunda, G é a constante de Lamé (G. Lamé 1852) (unidade [Pa]). Estes dois modelos expressam uma importante diferença existente entre um fluido e um sólido: o fluido, estando sujeito a uma tensão, se deforma continuamente; o sólido, não. Em outras palavras, forças aplicadas em fluidos causam o escoamento; forças aplicadas em sólidos causam deformações. Resulta daí a necessidade de se expressar a tensão atuante no líquido como proporcional à taxa temporal de deformação (comportamento viscoso); em um sólido ela é proporcional à deformação (comportamento elástico). A Fig. 1a ilustra um fluido se deformando contínuamente sob ação da tensão T. De forma análoga, a Fig. 1b mostra um sólido que exibe uma deformação fixa para cada tensão aplicada.

Os modelos se constituem quando a taxa de deformação ou a deformação são especificadas. Considere o retângulo ABCD (elemento infinesimal) com lados Δx e Δy, representado na Fig. 2. Ao ser submetido a uma tensão na face BC, o ponto B se desloca para B’ e o C para C’. A deformação, definida pelo ângulo γ, formado por BAB’, resulta do movimento relativo dos pontos B e B’ em relação ao ponto A, aqui tomado como referência.

Para Δx e Δy infinitesimais, a deformação, expressa em função dos segmentos, é:

        [pic 4].        (2)

[pic 5]

[pic 6]

i) Aplicação Eq. (2) para Fluidos:

O segmento BB’ se deforma continuamente. Sendo u a velocidade do fluido em A e Δt o intervalo de tempo, então:

        [pic 7],        (3)

Substituindo-se a Eq. (3) na Eq.(2) obtém-se a taxa de deformação para o fluido:

        [pic 8]        (4)

ii) Aplicação Eq. (2) para Sólidos:

O  segmento BB’ não se deforma continuamente. Se u é o deslocamento observado em A, o deslocamento do ponto B em relação ao ponto A é:

        [pic 9],        (5)

substituindo-se Eq. (5) na Eq.(2) obtém-se a deformação do sólido:

        [pic 10]        (6)

[pic 11]

Fig. 2 – Deformação do elemento ABCD → AB’C’D

A extensão destes modelos para um estado de tensão tri-dimensional é a equação constitutiva do material. Ela, de fato, é um modelo que relaciona deformação com tensão para sólidos Hookenos ou fluidos Newtonianos. Expressa em notação indicial, a equação constitutiva é dada por :

        [pic 12],        (7)

onde δij é o delta de Kronecker; Dij é o tensor das deformações definido na Eq. (8) (sólido ou fluido); u, v e w são vetores paralelos às direções x,y,z e representam velocidades ou deformações, dependendo se a matéria é um fluido ou um sólido. Finalmente, λ e μ são parâmetros que dependem da temperatura e expressam, tanto para fluidos como para sólidos, uma relação linear entre o tensor de deformações e o campo de tensão. Além disto, eles impõem um comportamento isotrópico no tensor das tensões, isto é: τij = τji .

        [pic 13]        (8)

Os parâmetros λ e μ são conhecidos por diferentes nomes quando a equação constitutiva é aplicada para líquido ou sólido, veja a tab. 1.

Tabela 1 – Nomes e unidades dos parâmetros  μ e λ.

FLUIDOS NEWTONIANOS
μ	Primeiro coef. de viscosidade ou viscosidade dinâmica	Viscosidade dinâmica	Pa.s ou N.s/m2	Experimental
λ	Segundo coef. de viscosidade		Pa.s ou N.s/m2	λ = (2/3)μ modelo
SÓLIDOS HOOKEANOS
μ	Coef. de Lamé, conhecido por G	[pic 14] E - módulo Young ν - coef. de Poisson	Pa ou N/m2	Experimental
λ	Coef. de Lamé	[pic 15] E - módulo Young ν - coef. de Poisson	Pa ou N/m2	Experimental   ν ≅ (1/4) e λ = G