Determinação de Domínio

Determinação de Domínio

Existem algumas restrições no domínio, são elas:

i - Não existe raiz quadrada de número negativo (e nenhuma outra raiz de índice par); ii - Não existe divisão por zero; iii - Não existe logaritmo de número negativo ou de zero; iv - Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1; v - Não existe tangente de 90° nem de 270°.

De todas estas restrições para o domínio, as mais importantes e mais pedidas, com certeza são as duas primeiras.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dada a função [pic 1], definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem:

SOLUÇÃO:
Neste exercício, o domínio é dado, ele vale D={-3, 2, 0, [pic 2]} e o contradomínio são todos números reais. Como já estudamos, a imagem de um número é o elemento pertencente ao contradomínio que está relacionado à este número, e para achar estes número devemos aplicar sua lei de formaçào:
- a imagem do -3 é também representada por f(-3), e f(-3)=2.(-3)² +1,
então f(-3)=19
- f(2)=2.(2)²+1, então f(2)=9
- f(0)=2.(0)²+1, então f(0)=1
- f([pic 3])=2.([pic 4])²+1, então f([pic 5])=11
Agora que já achamos as imagens de todos pontos do domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta função é Im={19, 9, 1, 11}

1. Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine:

[pic 6]

a) O Domínio: b) A imagem c) f(5) d) f(12)

SOLUÇÃO:
a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada
D={5, 12, 23}.

b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então:
Im={7, 14, 25}

c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5.  f(5)=7

d) Como no exercício anterior: f(12)=14.

1. UCSal - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:
   a) -5
   b) -4
   c) 0
   *d) 4
   e) 5

SOLUÇÃO:
Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1
Logo, 2.g(x) = - 4x +4 ∴ g(x) = -2x + 2
Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4.
Logo, a alternativa correta é a letra D.

1. Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a ∴ a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b ∴ b = 35. Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

1. Considere três funções f, g e h, tais que:
   A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
   A função g atribui a cada país, a sua capital
   A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.

Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas

Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:  x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) .

Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.

1. Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais − tal que
   f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).

Solução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u ∴ x = u + 5

Substituindo agora  (x - 5)  pela nova variável u  e  x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20

Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

1. UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,
   para todo x ∈ R, pode-se afirmar que b/a é igual a
   a) 2  
   b) 3/2   
   c) 1/2   
   d) -1/3   
   e) -3
   

Solução:
Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,  vem, igualando:

a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:
2ax2 + a + b = -2x2 + 2

Então, poderemos escrever:  2a  = -2  ∴ a = -2 /2 = -1
E, também, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3

Logo, o valor procurado a/b será  a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.