Exercícios gerais de probabilidade - gabarito

EXERCÍCIOS GERAIS DE PROBABILIDADE - GABARITO

1) Considerando o lançamento de uma moeda e um dado construa:

a) O espaço amostral.

b) Se o evento A = {cara com número ímpar} e evento B = {coroa com um número par}, exiba o evento e o evento onde A e B ocorrem.

Solução. Observando o espaço amostral o evento é o complementar de B. Isto é, elementos que sejam (coroa,ímpar), (cara,ímpar) ou (cara, par).

Logo, = {(1,K); (3,K); (5,K); (1,C); (3,C); (5,C); (2,C); (4,C); (6,C)}

A∩B = Ø

2) Em determinado experimento constatou-se que e , onde A e B são mutuamente exclusivos. De acordo com essas informações, calcule:

Solução. Se os eventos são mutuamente exclusivos, então Aplicando as propriedades das probabilidades em cada caso, temos:

a) b) c) d) e)

a) b) c)

d) e)

3) Um experimento constatou que , e . Calcule:

Solução. Neste caso os eventos não são mutuamente exclusivos.

a) b) c)

a) .

b) .

c) .

Obs. Repare que nos casos (b) ou (c) poderíamos optar pelo mesmo procedimento do item (a).

4) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1, 2, 3, ..., 50. Qual a probabilidade de ser:

a) Múltiplo de 5 b) Divisível por 6 ou 8 c) Número primo

Solução. Em todos os casos o espaço amostral possui 50 elementos.

a) .

b) .

c) .

5) As probabilidades de três jogadores acertarem um pênalti são respectivamente , e . Se cada um chutar uma única vez, qual a probabilidade de:

Solução. Nomeando os eventos de acerto respectivamente por A, B, C e aplicando as propriedades da união, interseção e complementar das probabilidades, vem:

a) Todos acertem b) Só um acerte c) Todos errarem

a) Se todos acertam há uma interseção:

b) Há 3 possibilidades a considerar:

Logo a possibilidade de que só um acerte é:

c) Todos erram: . OBS:

OBS: A probabilidade de todos errarem não é complementar de todos acertarem porque se nem todos acertam pode significar que somente 1 ou dois acertem.

6) Uma urna contém 12 bolas: 5 brancas, 4vermelhas, e 3 pretas. Outra contém 18 bolas: 5 brancas, 6 vermelhas e 7 pretas. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?

Solução. O evento pedido é uma união de {BB} ou {VV} ou {PP}. Em cada urna, temos:

- Urna 1: ; ; - Urna 2: ; ;

OBS: Repare que não há interseção entre os eventos. Isto é, ele são disjuntos e portanto a Probabilidade da união dos eventos será a soma das probabilidades de cada evento.

Logo,

Representando a situação em um diagrama de árvore, teríamos a seguinte situação.

7) A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é e de seu marido é . Calcular a probabilidade de:

Solução. Pela informação do problema, já sabemos que o complementar de cada probabilidade é a da situação onde há o falecimento de uma das partes.

a) apenas o homem estar vivo b) somente a mulher estar viva c) pelo menos um estar vivo

a) Se apenas o homem vive então a mulher morreu. Logo,

b) Se apenas a mulher vive então o homem morreu. Logo,

c) Se pelo menos um vive então não há morte conjunta. Logo,

8) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de cores diferentes destas são colocadas na urna. Uma segunda bola é então selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que:

a) a segunda bola seja vermelha b) ambas as bolas sejam da mesma cor.

c) Se a segunda bola é vermelha, qual é a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha.

d) Se ambas são da mesma cor, qual é a probabilidade de que sejam brancas.

Solução. O diagrama ilustra a situação.

Observe que as duas bolas colocadas após a 1ª retirada (aumentando para 9 o total de bolas) não são vermelhas, nem brancas. Repare ainda que após esta 1ª retirada a urna ficou com 1 bola a menos que pode ser vermelha ou branca.

a) A segunda bola pode ser vermelha nas opções {VV} ou {BV}. Logo a união destes resultados será a soma das probabilidades de cada caso:

b) Bolas de mesma cor ocorrem nas opções {VV} ou {BB}. Logo a união destes resultados será a soma das probabilidades de cada caso:

c) Esta probabilidade é condicional. Considerando V2 = {2ª bola vermelha}, temos pelo diagrama que . A probabilidade pedida é P(V1\V2). Isto é, sabendo que a segunda já é vermelha. Logo,

d) Esta probabilidade também é condicional. A probabilidade pedida é P(BB\(VVouBB)).