Exercícios para Estatistica

Exercício1. Seja a função distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta (v.a.d.) Y a seguir:

Y -3 -2 -1 2 3 4

f(y) p p p 2p 3p 2p

a) Calcule o valor de p.

Para que esta função seja distribuição de probabilidade, a soma de todas as probabilidades precisa ser igual a 1. Desta forma, temos:

p + p + p + 2p + 3p + 2p = 1

10p = 1

p = 1/10 ou 0,1.

Assim, podemos reescrever a tabela anterior substituindo agora pelas respectivas probabilidades.

Y -3 -2 -1 2 3 4

f(y) 0,1 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2

b) Calcule a P( Y < 2)

A probabilidade de que Y seja menor que 2 é a probabilidade de que Y seja igual a -1 ou igual a – 2 ou igual a -3.

P(Y < 2) = P(Y = - 1) + P(Y = - 2) + P(Y= - 3)

P(Y<2) = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3

c) Calcule a P( | Y – 1 | < 3)

Neste caso, precisamos utilizar uma propriedade de função modular.

| Y – a | < b = -b < Y – a < b

-b + a < Y < b + a

Desta forma, teremos:

P( | Y – 1 | < 3) = P( -3 < Y – 1 < 3) = P(-3 + 1 < Y < 3 + 1) = P(-2 < Y < 4)

Essa probabilidade é a probabilidade de que Y seja igual a -1 ou 2 ou 3. Portanto, P(-2 < Y < 4) é dada por: P(Y = -1) + P(Y = 2) + P(Y = 3) = 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,6.

d) Calcule F(Y)

Lembrando, a F(Y) é a função de distribuição acumulada de Y. Para encontrá-la precisamos somar as probabilidades até o valor de interesse. Vejamos:

F(-3) = 0,1

F(-2) = 0,1 + 0,1 = 0,2

F(-1) = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3

F(2) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 = 0,5

F(3) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,3 = 0,8

F(4) = 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,2 = 1

Na forma de tabela, temos:

Y -3 -2 -1 2 3 4

F(Y) 0,1 0,2 0,3 0,5 0,8 1,0

Exercício 2. Um tipo de fio produzido por uma empresa é vendido em rolos de 1000 metros. A variável aleatória X que associa a cada rolo o número de emendas no mesmo tem a seguinte distribuição de probabilidade:

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(X) 0,22 0,33 0,25 0,13 0,04 0,01 0,01 0,005 0,005

Se um rolo não contém nenhuma emenda, é vendido por R$100,00; se contém de 1(uma) a 3 emendas, é vendido por R$80,00; se contém 4 emendas é vendido por R$60,00; se contém mais de 4 emendas, é vendido por R$30,00. Construa a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y que associa a cada rolo o preço pelo qual o mesmo é vendido

Vejamos então o que acontece com o preço de venda (Y) em função do número de emendas (X).

Se X = 0 o valor de Y = R$100,00.

Se X = 1 ou X = 2 ou X = 3, o valor de Y = R$80,00.

Se X = 4, Y = R$60,00.

Se X = 5 ou X = 6 ou X = 7 ou X = 8, o valor de Y = R$30,00.

Precisamos agora, calcular com qual probabilidade cada um dos valores de Y ocorre.

Y = R$100,00 quando X = 0 o que ocorre com probabilidade 0,22. Logo, P(Y = 100) = 0,22.

Y = R$ 80,00 quando X = 1 ou X = 2 ou X = 3 o que ocorre com probabilidade 0,33 + 0,25 + 0,13. Logo, P(Y=80,00) = 0,71.

Y = R$60,00 quando X = 4 o que ocorre com probabilidade 0,03. Logo, P(Y = 60,00) = 0,04.

Y = R$30,00 quando X = 5 ou X = 6 ou X = 7 ou X = 8 o que ocorre com probabilidade igual a 0,01 + 0,01 + 0,005 + 0,005 = 0,03.

Com base nesses valores, a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y pode ser dada por:

Y 30 60 80 100

P(Y) 0,03 0,04 0,71 022

Exercício 3. Na verificação de máquinas, observam-se as partes elétrica, mecânica e estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em cada uma das partes é 0,01; independente das demais. Ocorrendo falha, o tempo de conserto é 10, 20 ou 50 minutos para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Se a falha elétrica aparece junto com a falha mecânica, teremos ainda um acréscimo de 20 minutos. Se não há falha, o tempo de conserto (no qual ocorre a interrupção da máquina) é zero. Determine:

a) A árvore de probabilidade para o problema em questão.

b) A função de probabilidade para a variável tempo de interrupção.

c) A probabilidade do tempo de interrupção durar menos de 25 minutos.

Na construção da árvore iremos analisar o que pode acontecer em cada uma das partes. Vejamos primeiro na parte elétrica: pode haver falha na parte elétrica ou não haver falha. Vamos indicar por E: haver falha na parte elétrica e EC: por não haver falha na parte elétrica.

E

●

EC

O caminho da