O cálculo numérico

Introdução Cálculo Numérico é a obtenção da solução de um problema pela aplicação de método numérico; a solução do problema será caracterizada, então, por um conjunto de números, exatos ou aproximados.

Método Numérico é um algoritmo composto por um número finito de operações envolvendo apenas números (operações aritméticas elementares, cálculo de funções, consulta a uma tabela de valores, consulta a um gráfico, arbitramento de um valor, etc.).

Problema Físico

Modelo Matemático

Solução

Modelagem Resolução

Modelagem é a fase de obtenção do modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico. Resolução é a fase de obtenção da solução através da aplicação de métodos numéricos (este é o objetivo de estudo do Cálculo Numérico ).

5

2 Conceito de Erro

2.1 Introdução A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico. De um lado, os dados, em si, nem sempre são exatos e, de outro lado, as operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados. Finalmente, os próprios métodos numéricos, freqüentemente métodos aproximados, buscam a minimização dos erros, procurando resultados o mais próximo possível do que seriam valores exatos.

Erro é a diferença entre o valor exato e o valor apresentado.

No próximo capítulo, sobre representação de números reais, iremos analisar várias situações em que ocorrem erros, quando utilizamos o computador para realizar os cálculos. A seguir, analisaremos os erros que ocorrem durante as fases de modelagem e resolução e também sobre erros de arredondamento e erros de truncamento.

2.2 Erros na Fase de Modelagem Ao se tentar representar um fenômeno do mundo físico por meio de um método matemático, raramente se tem uma descrição correta deste fenômeno. Normalmente, são necessárias várias simplificações do mundo físico para que se tenha um modelo.

Exemplo: Estudo do movimento de um corpo sujeito a uma aceleração constante. Tem-se a seguinte equação:

d = do + vo * t + 1/2 * α * t2

onde: d : distância percorrida do : distância inicial vo : velocidade inicial t : tempo α : aceleração

Determinar a altura de um edifício com uma bolinha de metal e um cronômetro: 3s d = 0 + 0 * 3 + 1/2 * 9.8 * 3 2 = 44.1m

Este resultado é confiável? 1. Fatores não considerados: • resistência do ar • velocidade do vento, etc. 2. Precisão dos dados de entrada: • Se o tempo fosse 3,5s → d = 60.025m • Variação de 16,7% no cronômetro → 36% na altura.

2.3 Erros na Fase de Resolução Para a resolução de modelos matemáticos muitas vezes torna-se necessária a utilização de instrumentos de cálculo que necessitam, para o seu funcionamento, que sejam feitas certas aproximações. Tais aproximações podem gerar erros, tais como: conversão de bases, erros de arredondamento e erros de truncamento.

2.4 Erros Absolutos e Relativos Erro absoluto ( EA ) é a diferença entre o valor exato de um número N e o seu valor aproximado N’ :

6

N = N’ + EA N (N > N’ → EA N > 0 N < N’ → EA N < 0)

EA N = N − N’ Erro absoluto

Por exemplo, sabendo-se que π ∈ (3.14, 3.15) tomaremos para π um valor dentro deste intervalo e teremos, então, | EA π| = | π - π‘| < 0.01.

Erro Relativo é definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado:

'

'

' N NN

N EA ER N N

− == Erro Relativo

É claro que EA N só poderá ser determinado se N for exatamente conhecido; como isso é raro, em cálculos numéricos costuma-se trabalhar com uma limitação máxima para o erro, ao invés do próprio (indicando-se, então, | E | < ε, onde ε é o limite).

Por exemplo, se α = 3876.373 e só desejamos a parte inteira α’, o erro absoluto será: ∆α = | α − α' | = 0.373

Se fizermos o mesmo com o número β = 1.373, teremos: ∆β = | β − β' | = 0.373

Obviamente, o efeito de aproximação de β é muito maior do que em α, mas o erro absoluto é o mesmo nos dois casos. O erro relativo, entretanto, pode traduzir perfeitamente este fato, pois:

δα =

0 373 3876 ,

≅ 0,000096 < 10 -4 δβ = 0 373 1 ,

≅ 0,373 < 5*10 0

2.5 Erro de Arredondamento Ao se aplicar um método numérico, os erros devidos aos valores iniciais, intermediários e finais conduzem a um erro global (diferença entre o exato e o obtido) também chamado de arredondamento.

Erros iniciais são os cometidos no arredondamento dos dados iniciais. Os erros intermediários são decorrentes dos erros cometidos durante a aplicação do método numérico e os erros finais decorrentes da apresentação final do resultado.

Os tipos de arredondamentos mais conhecidos são: • Arredondamento para baixo ou por falta; • Arredondamento para cima ou por excesso; • Arredondamento para o numero de maquina