A Modelagem Matemática Aplicada

MODELAGEM MATEMÁTICA II  

*PROVAS

- 1ª PROVA = Modelagem Matemática

- 2ª Prova = Modelagem Matemática  Solução pelo Fortran método numérico

- 3ª Prova = Solução Fortran Equações Ordinárias de 1ª Ordem (macroscópico)  e  Equações Diferenciais Ordinárias de 2ª Ordem (Microscópico)

Aula 1

• Matéria é dada -> Teoria + Aplicação Prática (FORTRAN)
• Linguagem Matemática a partir do princípio da ordem pré-estabelecidas e colocar dentro da máquina fazendo simulações
• Transformar a modelagem em números finais

SLIDES:

-> ENTRA - SAI + GERA = ACUMULA

-> Gera comportamentos previsíveis

-> PHI = Indica a conservação da matéria

-> RÔ = representa uma propriedade física que caracteriza o contínuo

Φ = integral de ρ x dV

• Discretizar o contínuo (desmembrar em pequenas partes) para resolução do problema numericamente

**MASSA TOTAL e ESPÉCIE QUÍMICA  são grandezas ESCALARES

**QUANTIDADE DE MOVIMENTO  é grandeza VETORIAL  

**MACROSCÓPICO = Somente em função do tempo (1 variável independente)

**MICROSCÓPICO = em função do tempo e espaço (4 variáveis independentes)

• Série de Taylor = Prevê o resultado aproximação numérica

 ORDEM 0 =  escalar (1 componente)

 ORDEM 1 = vetor (3 componentes)

 ORDEM 2 = tensor (9 componentes)

ADVECÇÃO = Movimento Global da Matéria por uma força externa

CONVECÇÃO = Interface entre sólido e fluido (película)

MACROSCÓPICO ->  ADVECÇÃO + CONVECÇÃO =  equação diferencial ordinária

MICROSCÓPICO -> ADVEÇÃO + CONVECÇÃO  (como condição de contorno) + DIFUSÃO = equação diferencial parcial

• Álgebra Vetorial não existe divisão
• Possui 4 tipos de multiplicação
• ORDEM NEGATIVA NÃO EXISTE

OPERADORES:

• GRADIENTE DE UM VETOR = Produto Diádico = TENSOR
• OPERADOR NABLA = Operador Diferencial e é aplicado sobre um escalar no devido sistema de Coordenadas
• DIVERGENTE DE UM VETOR = ESCALAR
• DIVERGENTE DE UM TENSOR = VETOR
• LAPLACIANO = NABLAXNABLA = ESCALAR

 (AULA 2)

MACROSCÓPICO (Problema de Valor Inicial)

- Princípio Ordenador = Taxa que entra pela superfície - Taxa que sai pela superfície = taxa de acúmulo por volume + taca de geração por volume

-> Análise Macroscópica = Volume de Controle que separa o sistema da sua vizinhança e ver o que sai, entra, acumula e transforma

ENTRADA E SAÍDA

-> ENTRADA E SAIDA somente por 2 mecanismos = Adveção ou por Película (Convecção)

- Vetor Normal serve para referenciar os vetores da superfície

**m/t = p.v.A (Velocidade escalar na direção normal, por isso quando velocidade ta num ângulo tem que recalcular para a direção normal)... ficando dm = ρv cos θ dS

 v cos θ = (v ∙ n)

Saindo da superfície = +v

Entrando na superfície = -v

ACÚMULO

-> derivada no tempo

GERAÇÃO

-> Taxa de geração derivada pelo volume

Exotérmica = fluido frio para tirar energia que está sendo gerada

Endotérmica = Fluido aquecido para fornecer energia que está sendo tirada

**JAQUETA É SEMPRE IMPERMEAVEL (só temperatura e massa total varia nela) -> CONVECÇÃO

Qconv = Hconv . (T – T0)

NÃO LINEARIDADES = Quando é elevado a valores diferentes de 0 e 1 e so consegue resolver usando métodos numéricos

DIFERENCIAIS = Derivadas  TRANSIENTE

ALGÉBRICAS = Apenas números  ESTACIONÁRIO

AULA 3

Revisão exercício reator não isotérmico

- Equações acopladas (menos a 1ª e a 4ª que são independentes) formando um problema de valor inicial = PVI

- Resolve-se no computador por métodos numéricos (sistemas de EDO’s 1ª ordem)

RESOLUÇÃO PVI

- Considera-se E.E. e elimina as derivadas (formando equações algébricas) = SEA

EXERCICIO Dinâmica de Partículas

• Força da gravitação universal Fij
• Variação da posição e velocidade em cada uma das direções para cada objeto gerando 6 equações para cada partícula (x y z)
• 12 EDO’s PVI (problema valor inicial)
• Devem-se dizer os valores iniciais para t=0

AULA 4

BALANÇO MICROSCÓPICO

Acumulo + convecção = difusão + transformação

• Por exemplo, um ponto evolui no espaço e no tempo (varia nos 2)
• Aplica condição inicial
• Aplica Condição de contorno (as 2)
• Mesmo com computador bom, demora muito pra resolver
• Equação Diferencial Parcial 1ª Ordem (EDP)

TEOREMA DA DIVERGENCIA DE GAUSS  ou  BALANÇO DIFERENCIAL

• Não usa mais película (convecção), e sim a lei da difusão (pelo espaço)

• TIPOS DE DIFUSÃO:

Fickiana (no seio da partícula, de maior potencial químico para o de menor). Tamanho da molécula menor do que o tamanho do poro

**Difusão serve para qualquer variável menos massa (velocidade, temperatura  e espécie química)   ->ABORDADO EM PROVA

Knudsen (tamanho da molécula for da mesma ordem de grandeza do espaço que a molécula vai se difundir)  = Superfície porosa

Capila (quando o tamanho da molécula é maior que o tamanho do poro) = Seiva das Plantas