Análise Matemática

ANÁLISE MATEMÁTICA – O CRITÉRIO DA RAZÃO  -  O CRITÉRIO DA RAIZ - SÉRIE 7

Convergência absoluta: Dada qualquer série  an, podemos considerar a série correspondente| = | a1 | + | a2 | +| a3 | + ... cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original. Uma série  an é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos   |an | for convergente.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Exemplo: A série   = 1 – 1/22 + 1/32 - 1/42 + ... é absolutamente convergente porque  = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... é uma p série convergente (p = 2). É possível uma série ser convergente, porém não absolutamente convergente, mas se for absolutamente convergente será convergente. [pic 5][pic 6]

O teste da razão é muito útil para determinar se uma série dada é absolutamente convergente (e portanto convergente).

Teste da razão: Se  = L  1, então a série  é absolutamente convergente (e portanto convergente).[pic 7][pic 8][pic 9]

Se L  1 a série é convergente.  [pic 10]

Se L  1 ou L = , é divergente.[pic 11][pic 12]

Se L = 1, o teste da razão não é conclusivo.

Exemplo: Teste a série  quanto a convergência absoluta. [pic 13]

 = 1/3  1 e a série é absolutamente convergente (convergente).[pic 14][pic 15]

Teste da raiz: Se  = L  1, então a série  é absolutamente convergente (e portanto convergente).[pic 16][pic 17][pic 18]

Se L  1 a série é convergente. [pic 19]

Se L  1 ou L = , é divergente.[pic 20][pic 21]

Se L = 1, o teste da raiz não é conclusivo.

Exemplo: Teste a convergência da série   [pic 22]

 = 2/3  1, então a série  é convergente pelo teste da raiz.[pic 23][pic 24][pic 25]

O Teste da razão é conveniente quando ocorrem fatoriais e o teste da raiz quando ocorrem potências de  expoente n.

 

EXERCÍCIOS

Teste a convergência ou divergência das séries seguintes, usando o teste da razão:

1. [pic 26]
2. [pic 27]
3.  [pic 28]
4.  [pic 29]
5. [pic 30]

1.  [pic 31]

1. [pic 32]

1. [pic 33]

   

Nos exercícios 9 a 13 use o teste da raiz:

1. [pic 34]
2. [pic 35]
3. [pic 36]
4. [pic 37]
5. [pic 38]

RESPOSTAS

1. AC ( =0,   1)[pic 39][pic 40][pic 41]
2. AC ( =0,   1)[pic 42][pic 43][pic 44]
3. C ( =1/2,   1)[pic 45][pic 46][pic 47]
4. D ( = )[pic 48][pic 49]
5. C ( =1/2,   1)[pic 50][pic 51][pic 52]
6. C ( =- 1,   1)[pic 53][pic 54][pic 55]
7. Inconcluso ( =1)[pic 56]
8. Inconcluso ( =1)[pic 57]
9. C  ( =1/2,   1)[pic 58][pic 59][pic 60]
10. C ( = 0,   1)[pic 61][pic 62][pic 63]
11. C ( =1/3,   1)[pic 64][pic 65][pic 66]
12. Inconcluso ( =1)[pic 67]
13. C  ( =1/5,   1)[pic 68][pic 69][pic 70]