Simulação de modelos epidemiológicos usando o ambiente VENSIM

Simulação de modelos epidemiológicos usando o ambiente VENSIM

Introdução

A infecção por dengue é causada pela picada do mosquito (vetor) Aedes aegypti infectado pelo vírus em humanos (hospedeiros) suscetíveis.  A doença não é infecciosa entre hospedeiros ocorrendo somente pela picada do vetor infectado. O hospedeiro suscetível exposto ao vírus passa a um estado latente e, alguns dias após a exposição, passa ao estado infeccioso e apto a transmitir o vírus.  A Dengue pode ser causada por quatro diferentes sorotipos conhecidos como DEN1, DEN2, DEN3 e DEN4. Uma vez que uma pessoa é infectada por um dos sorotipos nunca será reinfectada pelo mesmo sorotipo novamente, mas continuará a ser suscetível aos outros sorotipos após um período de imunidade. Com isso, em relação a um determinado sorotipo, um indivíduo pode encontrar-se em um estado suscetível, infeccioso e recuperado. O mosquito torna-se infectado pelo vírus picando pessoas que estejam no estado infeccioso, passando ao estado infeccioso.  Na modelagem epidemiológica as regras de transição entre estados, construídas a partir de hipóteses biológicas, definem um modelo SIR (Suscetível-Infeccioso-Recuperado). Com relação ao mosquito, somente os estados suscetível e infeccioso são observados e a representação matemática pode ser feita através de modelos SI. A descrição matemática dos modelos epidemiológicos é feita, geralmente, através de equações determinísticas que, são relevantes e de grande interesse, incorporando diferentes aspectos relacionados à propagação da infecção.

A partir destas observações os modelos epidemiológicos SIR e SI foram adaptados para incorporar tanto os efeitos de renovação das populações quanto variações periódicas da taxa de infecção. Os modelos matemáticos resultantes foram implementados e simulados usando a ferramenta de modelagem visual VENSIM (THE VENTANA SIMULATION ENVIRONMENT; 2010).

Revisão teórica: Descrição dos modelos e ferramenta computacional

VENSIM é uma ferramenta de modelagem visual para desenvolvimento, simulação e análise de modelos de sistemas dinâmicos. Esta ferramenta foi criada pela Ventana Systems, Inc. sendo delineada para tornar facilitar a investigação da Dinâmica de Sistemas. Ela fornece um modo simples de construir modelos de simulação a partir de diagramas causais ou diagramas de fluxo enquanto um editor de equações permite a explorar diferentes modelos. Uma vez completada a implementação do modelo na ferramenta o comportamento do modelo pode ser investigado sob diferentes condições iniciais e de contorno.

Neste trabalho o modelo epidemiológico implementado no VENSIM é uma variação do modelo SIR para a propagação da infecção em hospedeiros e SI para a infecção nos vetores. O diagrama de fluxo do modelo é ilustrado na Fig.1 e sua dinâmica é descrita a seguir. 

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Fig.1. Diagrama de fluxo para o modelo acoplado SIR-SI de populações de hospedeiros e vetores.

• Para população de hospedeiros:

• Hospedeiros suscetíveis em contato com vetores infectados são contaminados a uma taxa λVH, passando ao estado infectado;
• Hospedeiros infectados passam ao estado recuperado a uma taxa δH.
• Foi considerada a renovação da população de hospedeiros através da seguinte regra: Indivíduos recuperados são removidos da população a uma taxa δB enquanto novos hospedeiros suscetíveis são inseridos na população a uma taxa δB, com isso, a população total é mantida constante.

• Para população de vetores:

• Vetores suscetíveis em contato com hospedeiros infectados são contaminados a uma taxa λHV, passando ao estado infectado.
• Vetores infectados são removidos da população a uma taxa δB enquanto novos vetores suscetíveis são inseridos na população a uma taxa δB.

Para avaliar o efeito da renovação da população de hospedeiros as taxas de infecção, recuperação e renovação de vetores foram mantidas fixas, em valores compatíveis com valores encontrados na literatura e as taxas de renovação de hospedeiros varia em taxas baixas, compatíveis com o aumento da população humana em cidades.

A implementação das regras do modelo conforme descritas acima, seguindo o diagrama de fluxo mostrado na Figura 1 no ambiente de modelagem VENSIM toma o aspecto mostrado na Figura 2.

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Fig.2. Diagrama causal do modelo acoplado SIR-SI implementado no VENSIM.

Resultados e Discussões para Estudo de Renovação da População.

Nesta seção são mostrados os resultados obtidos através de simulações. As populações são formadas por 500000 indivíduos suscetíveis de cada espécie. Inicialmente uma pequena quantidade de humanos infectados (10 indivíduos) é introduzida e a partir dela a infecção pode se espalhar. As taxas de infecção e recuperação foram mantidas fixas em valores compatíveis com a literatura. Para o caso ilustrado neste texto [pic 3]e as taxas de renovação da população de hospedeiros foram alteradas.  [pic 4]

[pic 5]

Fig.3. Fração de hospedeiros infectados para diferentes valores de renovação de população.

A Fig.3 mostra a fração de hospedeiros infectados considerando três diferentes taxas de renovação, em diferentes escalas. Na Fig.3(a) observa-se o comportamento típico do modelo: a infecção se espalha, a partir do surto inicial, atingindo grande parte da população de hospedeiros. Este comportamento inicial independe da renovação da população uma vez que a infecção atinge uma grande população totalmente suscetível. Após o pico do surto infeccioso os indivíduos infectados tornam-se recuperados; a quantidade de suscetíveis diminui e a quantidade de infectados cai drasticamente. Quando a taxa de renovação δB é igual a zero a infecção se extingue devido à falta de indivíduos suscetíveis. Quando a taxa de renovação é aumentada se observa que a infecção não se extingue, mas exibe algumas pequenas oscilações de infecção e então se estabiliza, mantendo-se ativa no sistema por tempo indeterminado (Fig.2(b)). O nível do estado endêmico (fração de infectados no estado estável) depende da taxa de renovação: o nível endêmico é maior quanto maior for δB. Observa-se ainda que o tempo necessário para atingir o estado endêmico constante diminui com o aumento da taxa de renovação da população.

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