Exercício de Relações Binárias

1. Seja A = {1,2,3,4} . Considere em A as seguintes relações binárias:

[pic 1]

Escreva α, β,θ, ρ como conjunto de pares ordenados.

α= ((1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4))

β= ((1,1), (1,3), (3, 1), (3, 3))

θ= ((1, 1), (2, 1), (2,2), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4))

ρ= ((1,1), (4, 3))

2. Considere a relação binária em A = {1, 2, ..., 8, 9} definida por:
n R m ⇔ n + m =10
Escreva R como conjunto de pares ordenados.

R= ((1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1),)

3. Para cada uma das relações binárias definidas no exercício 3, diga justificando, se a
relação é:
∙ Reflexiva
∙ Simétrica
∙ Transitiva

Resolução: Seja R uma relação binária em A. Dizemos que:
- R é reflexiva se[pic 2] x ∈ A, x R x, isto é, ∀x ∈ A, (x, x) ∈ R. ou seja, A relação R é dita reflexiva se todos os elementos se relacionam com si próprios (R é dita reflexiva se aRa para todo a ∈ A, isto é, se (a,a) ∈ R para todo a ∈ A).  Além do mais R não é reflexiva, se [pic 3] x ∈ A tal que (x, x) [pic 4] R.     PORTANTO: apenas θ é reflexiva pois é a única que contém os quatro pares ((1, 1), (2,2), (3, 3), (4, 4))

- R é simétrica, se[pic 5] x, y ∈ A, se x R y então y R x, isto é, se (x y) ∈ R então (y, x) ∈ R, para x, y em A. Ou seja, Uma relação binária é simétrica se a relação de a com b implica na relação de b com a (uma relação binária é simétrica se qualquer aRb implica bRa.). Além do mais R não é simétrica, se (x, y) ∈ R, mas (y, x) [pic 6]R.     PORTANTO: apenas β é simétrica pois as relações de seus elementos ((1,1), (1,3), (3, 1), (3, 3))são do tipo aRb implica bRa. 

- R é transitiva se [pic 7] x, y, z ∈ A, se x R y e y R z então x R z, isto é, se (x,y) ∈ R e (y, z) ∈ R então (x , z) ∈ R, para x,y, z em A. Ou seja, uma relação transitiva, se a implica b, e b implica c, então a implica c(uma relação é dita transitiva se aRb e bRc implicam em aRc).  Além do mãos R não é transitiva, se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, mas (x, z) [pic 8] R. PORTANTO: α  e β são transitivas pois a relação de seus elementos[α= ((1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)) e β= ((1,1), (1,3), (3, 1), (3, 3)) ] são do tipo aRb e bRc implicam em aRc) .