O Relatório Simulação de Epidemias

Relatório — Simulação de epidemias – SIR

Bruno Kenji Sato

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Guilherme Gimenes Diogo

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Leonardo Loureiro Costa

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Resumo—Neste relatório será apresentado o sistema SIR de modelagem matemática de epidemias e como ele se desenvolve em função do tempo quando os parâmetros

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Este grafo direcionado indica a ordem da mudança de estados.

de infecção e recuperação mudam. Serão estudados os efeitos na curva de Infectados e como ela abaixa quando os[pic 1][pic 2]

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S        ¸/ I

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¸/ R        (2)

valores de infecção diminuem e quando os de recuperação aumentam. Além disso o sistema será testado em uma Rede circular, tendo seu comportamento analisado quando há migração de infectados por entre as populações.

1. INTRODUÇÃO

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A taxa básica de reprodução, medida utilizada

para dizer, em média, quantas pessoas um determi- nado indivíduo infecta dado um instante do tempo está presente em

rS

Para fim de emular o comportamento de doen- ças epidemiológicas, neste relatório serão realizadas simulações utilizando o modelo SIR — visando entender a maneira a qual uma determinada doença

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Onde:

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R0 =

S : sucetíveis

I : infectados

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(3)

a[pic 3]

se espalha por uma população e como a mudança de parâmetros do modelo matemático influencia seu desenvolvimento.

A. Modelos matemáticos

Para simular como uma dada doença se espalha na população o modelo SIR foi selecionado. As equações em 3 representam, respectivamente, a taxa

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R : removidos

r : taxa de infecção

a : taxa de recuperação

A fim de simular o sistema de equações dado em 3 o método de Euler foi aplicado.

∆S = −rSI∆t

de variação de indivíduos suscetíveis, infectados, e recuperados (removidos).

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∆I = (rSI − aI)∆t

∆R = aI∆t

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(4)

Onde:

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dS

dt = −rSI

dI

dt = rSI − aI

dR

= aI[pic 4]

dt

S : suscetíveis I : infectados R : removidos

r : taxa de infecção

a : taxa de recuperação

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(1)

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A partir das equações obtidas em 4 é possível realizar uma integração numérica.

1. OBJETIVOS

1. Medir a influência da variação das taxas de infecção e recuperação — r e a, respectiva- mente;
2. Calcular, para cada cenário, o número máximo de infectados atingidos ao longo da evolução da doença;
3. Observar os fenômenos no formato da curva de infectados em função do tempo;
4. Observar o comportamento em rede de popu-

Segundo o sistema de equações 3 cada indivíduo pode estar em 1 dos 3 estados listados no grafo 2.

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lações quando o grau de migração de infecta- dos aumenta.

1. RESULTADOS — SISTEMA SIR

1. Alterando os valores da taxa de infecção: r

Para as seguintes simulações serão considerados os parâmetros iniciais da tabela I.

Parâmetros	Valores
Tmax	20000
DT	0.01
S	1000
I	1
R	0
a	0, 001
r	—

Tabela I: Parâmetros e valores

Os valores de r variam conforme os valores do eixo das abscissas em 1, 2, e 3.

As figuras 1, 2, e 3 apresentam gráficos da variação do número de indivíduos que estão em um dos 3 estados — Suscetível, Infectado e Recuperado

— em função do tempo. A cor indica a variação do parâmetro r. Quanto mais vermelha é a cor maior é o valor de r; quanto mais verde, menor o valor.

[pic 5]

Figura 1: Variação do número de indivíduos susce- tíveis em função do tempo.

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[pic 6]

Figura 2: Variação do número de indivíduos infec- tados em função do tempo.

[pic 7]

Figura 3: Variação do número de indivíduos recu- perados em função do tempo.

A figura 4 apresenta um gráfico com o número máximo de infectados em função de x, onde x =

   r . A imagem explicita que quanto maior é a taxa de infecção maior será o número máximo de infectados na epidemia.[pic 8]

[pic 9]

Figura 4: Quantidade máxima de indivíduos infec- tados em função do tempo.

1. Alterando os valores da taxa de recuperação: a

Analogamente às alterações feitas para o parâ- metro r o parâmetro a também foi variado a fim de compreender os seus efeitos na disseminação da doença.

Para os valores das próximas simulações os va- lores iniciais da simulação são os da tabela II.