O Átomo de Hidrogênio

Prova Final: Capítulo VI – O Átomo de Hidrogênio

Aluno: Ciro Ângelo Silva Lira

6.1) a) Falso b) Verdadeiro

6.2) a) V é independente de θ e φ, então este é um problema de força central, e equação mostra que  f Y = lm( , ) θ φ

[pic 1]

6.3) a), b) Temos que                                         que é uma função de r apenas. Assim, este é um problema de força central. E equação mostra que [pic 2]

[pic 3]

c) Segundo a equação 6.17

6.5) a) Falso  b) Verdadeiro

6.6) De acordo com a equação

[pic 4]

Tentativa e erro fornecem os números quânticos (n1 e n2) e energias dos seis estados mais baixos são: (1,1), (2,1), (1,2), (3,1), (2,2), (3,2) e 1.71 × 10–19 J, 3.54 × 10^–19 J, 5.01 × 10^–19 J, 6.60 × 10^–19 J, 6.84 × 10^–19 J, 9.90 × 10^–19 J

[pic 5]

6.7) a) Verdadeiro pois

b) Verdadeiro

6.8) a) Verdadeiro b) Falso c) Verdadeiro d) Verdadeiro e) Verdadeiro

6.9) a) A menor frequência de absorção corresponde à transição J = 0 a 1. Então temos:[pic 6]

A massa reduzida será:

[pic 7]

b) As próximas duas frequências são para as transições J = 1 a 2 e 2 a 3 são duas vezes e três vezes a frequência de 0 a 1.[pic 8]

c) d é o comprimento da ligação em média sobre o ponto zero de vibração, que diferem destas duas espécies. Então d diferirá muito ligeiramente para esses dois. Então:[pic 9]

6.10) [pic 10]

6.11)[pic 11]

6.12) Seja ν1 e ν2 a mais baixa e mais alta das duas frequências, respectivamente. Seja J′ o número quântico rotacional do nível mais baixo da transição ν1. Então, como não há linhas entre essas duas linhas, então:                                           [pic 12][pic 13]

Subtraindo as equações tem-se:

6.13) a) A partir da fórmula para a correção de energia de distorção centrífuga, obtemos:

[pic 14]

[pic 15]

b) A partir da a fórmula para Bv a frequência de absorção rotacional de 0 a 1 é:[pic 16]

6.14)

[pic 17]

6.15)

[pic 18]Obs: Como o valor é muito alto, a força gravitacional pode ser desprezada.

6.16) a) As energias do átomo H dependem apenas de n, portanto, todas as várias possibilidades l e m de cada n fornecem estados diferentes que possuem a mesma energia. Para cada valor de l, existem 2l + 1 valores permitidos de m, e l vai de 0 a n - 1. Daí o número de estados para um dado n será: [pic 19]

[pic 20][pic 21]

b) A partir de tem-se

onde usamos a soma no texto com j substituído por l e k substituído por n - 1. Então: desde que esta soma tenha n termos cada um igual a 1. [pic 22][pic 23]

Portanto:

6.17) a) As energias do átomo H são E = - × (2.17868 x 10^-18 J)/n^2. Assim:

[pic 24]

b) He + é um íon de hidrogênio com Z = 2. E e ΔE são proporcionais a Z 2, então ν é proporcional a Z 2 se a ligeira mudança em μ é negligenciada. [pic 25]

Então:

6.18) As energias do átomo H são E = - × (2.17868 x 10^-18 J)/n^2. Assim:[pic 26]

[pic 27]

Para a primeira linha . O valor de n =1 quando

combinado com nu = 2 ou mais, fornece um valor muito mais grande que 0,139, então n é diferente de 1. Com n1 = 2, o valor nu =  3 fornece 1/n1^2 – 1/nu^2 = ¼ -1/9 = 0.138889, então esses são os números quânticos para a primeira linha.

6.19) Uma pequena fração de átomos de hidrogênio na natureza são o isótopo deutério, 2H ou D. Através de uma determinada equação, a energia é proporcional à massa reduzida μ¸ então a frequência de transição é proporcional a μ e λ é inversamente proporcional a μ. Portanto:

[pic 28]

De acordo com o apêndice mp/me = 1836.15, então:

 [pic 29]

[pic 30]

Que da md/mp = 1,999008. Então:

[pic 31]

6.20) Para a razão de potências sucessivas de r para j é:

[pic 32]

A razão de potências sucessivas de r no tópico (6.88) para j é:

[pic 33]

6.21) Para o átomo H (e para a partícula em um poço retangular), há um valor máximo Vmax da função de energia potencial e os níveis de energia acima de Vmax são contínuos. Para a partícula em uma caixa e o oscilador harmônico, a função de energia potencial vai para o infinito em cada extremidade da região permitida do eixo x, e todos os níveis de energia são discretos.

6.22) O positrônio é um átomo do tipo hidrogênio com massa reduzida u = me x me/(me + me) = me/2, que é cerca de metade da massa reduzida do átomo de hidrogénio. Como E é proporcional a μ, a energia do estado fundamental do positrônio é cerca de metade da energia em (6.108), ou seja, - (13.6 eV)/2 = -6.8 eV.