ANÁLISE DE SENSBILIDADE UTILIZANDO O MÉTODO SIMPLEX

ANÁLISE DE SENSBILIDADE UTILIZANDO O MÉTODO SIMPLEX

Em programação linear (PL), os parâmetros (dados de entrada) do modelo podem mudar dentro de certos limites, sem provocar alteração na solução ótima. Isso é denominado análise de sensibilidade.

De modo geral, os parâmetros em modelos de PL não são exatos. Com a análise de sensibilidade podemos averiguar o impacto dessa incerteza sobre a qualidade da solução ótima. Por exemplo, no caso do lucro unitário estimado de um produto, se a análise de sensibilidade revelar que a solução ótima continua a mesma com uma variação de +/- 10% no lucro unitário, podemos concluir que a solução é mais “forte” do que quando a faixa de indiferença é de apenas +/- 1%.

Primeiro veremos a análise de sensibilidade de dois casos:

1. Sensibilidade da solução ótima às variações na disponibilidade de recursos (lado direito das restrições).
2. Sensibilidade da solução ótima às variações no lucro unitário ou no custo unitário (coeficientes da função objetivo).

Caso 1) variações no lado direito das restrições.

Uma empresa produz dois produtos em duas máquinas. Uma unidade do produto 1 requer  duas horas na máquina 1 e uma hora na máquina 2. Para o produto 2, uma unidade requer uma hora na máquina 1 e três horas na máquina 2. As receitas por unidade dos produtos 1 e 2 são $30 e $20, respectivamente. O tempo de processamento diário disponível para cada máquina é oito horas.

Este problema será

Maximizar z = 30 x1 + 20 x2

S.A.

        2x1 + x2 ≤ 8 (Máquina 1)

        x1 + 3x2 ≤ 8 (Máquina 2)

        x1 ;  x2 ≥ 0

A solução deste problema será

Z = 128; x1 = 3,2 e x2= 1,6

Caso a capacidade diária da máquina 1 seja alterada para 9 unidades, uma nova solução ótima será

Z = 142; x1 = 3,8 e x2= 1,4

[pic 1]

Podemos calcular a taxa de variação em Z ótimo, resultante da alteração da capacidade da máquina 1 de oito horas para nove horas da seguinte maneira:

Taxa de variação na receita resultante do aumento de uma hora na capacidade da máquina 1 =

[pic 2]

A taxa calculada fornece uma ligação direta entre a entrada do modelo (recursos) e sua saída (receita total), que representa o valor unitário equivalente de um recurso (em $/hora), isto é, a variação no valor ótimo da função objetivo por unidade de variação na disponibilidade do recurso (capacidade da máquina). Isso significa que uma unidade de aumento (ou redução) na capacidade da máquina 1 aumentará (ou reduzirá) a receita em $14.

O NOME TÉCNICO DESTE VALOR É PREÇO DUAL OU PREÇO SOMBRA, ou seja, quanto varia a receita (Z) quando um recurso variar em uma unidade.

Na figura, e fazendo o exercício no Simplex, podemos ver que o preço dual de $14/hora permanece válido para variações (aumentos ou reduções) na capacidade da máquina 1 que deslocam sua restrição paralelamente para qualquer ponto sobre o segmento de reta BF. Isto significa que a faixa de aplicabilidade de determinado preço dual pode ser calculada da seguinte maneira:

Capacidade mínima da máquina 1 [em B = (0;2,67)]

= (2 x 0) + (1 x 2,67) = 2,67 horas

Capacidade máxima da máquina 1 [em F = (8;0)]

= (2 x 8) + (1 x 0) = 16 horas

Desse modo, podemos concluir que o preço dual de $14 / hora permanecerá válido para a faixa:

2,67 horas ≤ Capacidade da máquina 1 ≤ 16 horas

Variações fora dessa faixa produzirão um preço dual (equivalente por unidade) diferente.

Podemos calcular um preço dual para a capacidade da máquina 2 da mesma maneira. Ele será de $ 2 /hora e permanece válido para variações (aumentos ou reduções) que deslocam sua restrição paralelamente para qualquer ponto sobre o segmento de reta DE, o que resulta nos seguintes limites:

Capacidade máxima da máquina 2 [em D = (4;0)]

= (1x4) + (3x0) = 4 horas

Capacidade máxima da máquina 2 [em E = (8;0)]

= (1 x 0) + (3 x 8) = 24 horas

A conclusão é que o preço dual de $ 2/ hora para a máquina 2 continuará aplicável para a faixa

4 horas ≤ capacidade da máquina 2 ≤ 24 horas.

Os limites calculados para as máquinas 1 e 2 são denominados faixas de viabilidade.

RESPONDA AGORA:^[1]

1. Se a empresa puder aumentar a capacidade de ambas as máquinas, qual delas deve receber maior prioridade?
2. É dada uma sugestão para aumentar  as capacidades das máquinas 1 e 2 ao custo adicional de $ 10/hora para cada máquina. Isso é aconselhável?
3. Se a capacidade da máquina 1 for aumentada dos atuais 8 horas para 13 horas, qual será o impacto desse aumento na receita ótima?
4. Supondo que a capacidade da máquina 1 seja aumentada para 20 horas, qual será o impacto desse aumento sobre a receita ótima?

ALTERAÇÕES NOS COEFICIENTES DA FUNÇÃO OBJETIVO

A figura abaixo mostra a região de soluções do problema da empresa acima. A receita ótima ocorre no ponto C (x1 = 3,2 ;  x2=1,6 ; Z = 128). Alterações nas receitas unitárias  ( isto é, nos coeficientes das funções objetivo) alterarão a inclinação de Z.

[pic 3]

Contudo, como podemos ver pela figura, a solução ótima continuará no ponto C contanto que função objetivo esteja situada entre as retas BF e DE, ou seja, as duas restrições que definem o ponto ótimo. Isso significa que há uma faixa para os coeficientes da função objetivo que manterá  inalterada a solução ótima no ponto C.

Podemos escrever a função objetivo em sua forma geral

Maximizar Z = c1x1 + c2x2

Agora imagine que a reta Z gire em torno do ponto C no sentido horário e no sentido anti-horário. A solução ótima permanecerá no ponto C enquanto Z = c1x1 + c2x2 estiver entre as duas retas, x1 + 3x2 = 8 e 2x1 + x2 = 8.