AP2 MAT FIN

[pic 1]

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

AP 2

2010/2

Met. Det. II

Data: 14/11

1ªquestão (2,0 pontos)

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de [pic 2] em [pic 3].

Solução:

Para determinação da reta tangente, precisamos conhecer sua inclinação (y’) no ponto em que x = 1 e as coordenadas de um ponto pelo qual sabemos que ela passa. No caso, o ponto de abscissa 1 e ordenada y(1) = 3. Assim, a equação de uma reta genérica é dada por [pic 4], sendo a = y’(1), temos que [pic 5]. Portanto, a equação da reta fica, [pic 6]. No entanto, sabemos que para x = 1, y = 3. Então, [pic 7]. E a equação da reta tangente é [pic 8].

2ªquestão (2,0 pontos) Calcule a derivada de:

1.  [pic 9]
2. [pic 10]
3. [pic 11]
4. [pic 12]

Solução:

a [pic 13]

b [pic 14]

c [pic 15]d [pic 16], uma vez que p é função de q, portanto x é uma constante.

3ªquestão (3,5 pontos)

Considerando que a função que dá a receita na venda de um tipo de toalha de uma certa indústria têxtil é expressa por [pic 17], suponha que o custo para a produção de uma quantidade q deste mesmo tipo de toalha seja [pic 18] e que a função lucro seja dada pela diferença entre a receita e o custo, determine:

1. (0,3 ponto) A função Lucro desta indústria para este tipo de toalha
2. (0,5 ponto) A derivada primeira da função lucro obtida no item a
3. (0,5 ponto) A derivada segunda da função lucro obtida no item a
4. (0,7 ponto) Os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da função [pic 19], fazendo o estudo do sinal da primeira derivada.
5. (0,7 ponto) Os intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para cima e os intervalos em que o gráfico tem concavidade voltada para baixo, fazendo o estudo da derivada segunda.
6. (0,5 ponto) A quantidade que deverá ser produzida mensalmente para se ter o lucro máximo.
7. (0,3 ponto) O lucro máximo.

Solução:

a) [pic 20]

b) [pic 21]

c) [pic 22]

d) Os pontos críticos são definidos pelos pontos em que a derivada se anula ou não existe. Como a função derivada é uma função polinomial, seu domínio é R, portanto, os pontos críticos serão determinados pelos pontos em que a derivada se anula. Assim, [pic 23], que está no intervalo de definição da função Lucro (já que a receita está definida para [pic 24]). Logo, o ponto críticos é o que tem abscissa 4000. Podemos analisar o sinal da derivada primeira, levando em conta que é uma função linear e que já sabemos o seu comportamento, verificamos que a função lucro é positiva para [pic 25] e que é negativa para [pic 26] Assim, temos que [pic 27] se [pic 28], portanto, L é crescente neste intervalo, e [pic 29] se [pic 30], portanto L  é decrescente neste intervalo. Assim, (4000, L(4000)) é um ponto de máximo local

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