Canais de Distribuição e Logística de Marcado

Comparação de Medias Através do teste de hipótese.

Caso 1: Variâncias iguais σ2A=σ2BσA2=σB2

Para se verificar se as variâncias são iguais ou não é necessário recorrer ao teste F (inferência para duas variâncias de populações normais).

Dessa forma suponha que tenhamos duas populações normais independentes com médias desconhecidas e variâncias desconhecidas porém iguais, e desejamos testar as seguintes hipóteses:

H0:μA−μB=Δ0

H1:μA−μB≠Δ0

H0:μA−μB=Δ0

H1:μA−μB≠Δ0

ou seja, a hipótese nula frente à uma hipótese alteranativa, que pode ser, da diferença entre as médias, ou da superioridade ou inferioridade de uma das médias,

H0:μA−μB=0

H0:μA−μB=0

sendo a hipótese alternativa uma das seguintes opções:

H1:μA−μB≠0

H1:μA−μB>0

H1:μA−μB<0

H1:μA−μB≠0

H1:μA−μB>0

H1:μA−μB<0

Sabemos que a variância da diferença entre as variáveis aleatórias X¯¯¯¯A−X¯¯¯¯BX¯A−X¯B é dada por:

V(X¯¯¯¯A−X¯¯¯¯B)=σ2nA+σ2BnBV(X¯A−X¯B)=σ2nA+σB2nB

Sendo as variâncias iguais σ2A=σ2B=σ2σA2=σB2=σ2, temos que:

V(X¯¯¯¯A−X¯¯¯¯B)=σ2nA+σ2BnB=σ2(1nA+1nB)V(X¯A−X¯B)=σ2nA+σB2nB=σ2(1nA+1nB)

Dessa forma combinar as duas estimativas (S2A,S2BSA2,SB2) em uma única (S2S2) parece razoável. O estimador combinado das duas variâncias estimadas é também chamado de pooled estimator,S2pSp2, e é dado por:

S2p=nA−1nA+nB−2⋅S2A+nB−1nA+nB−2⋅S2BSp2=nA−1nA+nB−2⋅SA2+nB−1nA+nB−2⋅SB2

Note que o estimador combinado nada mais é do que uma média das variâncias ponderada pelos tamanhos das amostras.

Assim a grandeza,

t=X¯¯¯¯A−X¯¯¯¯B−(μA−μB)Sp1nA+1nB−−−−−−−√t=X¯A−X¯B−(μA−μB)Sp1nA+1nB

possui uma distribuição tt com nA+nB−2nA+nB−2 graus de liberadade.

Caso 2: Variâncias diferentes σ2A≠σ2B

Para se verificar se as variâncias são iguais ou não é necessário recorrer ao teste F (inferência para duas variâncias de populações normais).

Dessa forma suponha que tenhamos duas populações normais independentes com médias desconhecidas e variâncias desconhecidas porém diferentes, e desejamos testar as hipóteses H0H0 versus uma H1H1.

Sabemos que a variância da diferença entre as variáveis aleatórias X¯¯¯¯A−X¯¯¯¯BX¯A−X¯B é dada por:

V(X¯¯¯¯A−X¯¯¯¯B)=σ2nA+σ2BnBV(X¯A−X¯B)=σ2nA+σB2nB