O Polinômios e fatoração

DEMANA, F. D. et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson – Addison Wesley, 2009.

Polinómios e fatoração

Adição, subtração e multiplicação de polinómios

Um polinômio x é qualquer expressão que pode ser escrita da seguinte forma: anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 , sendo n inteiro não negativo e an-1, ... , a1, a0 são reais e chamados de coeficientes. O grau do polinômio é n e o coeficiente principal é o número real an.

Polinômios com um é monômio, com dois são binômios, com três são trinômios e assim respectivamente. Polinômio na forma padrão é escrito com as potências de x na ordem decrescente e adiciona-se ou subtraí-se termos semelhantes usando propriedade distributiva para adicionar ou subtrair polinômios. Termos dos polinômios com a mesma variável, cada uma elevada à mesma potência, são termos semelhantes.

Para expandir o produto de dois polinômios, nós usamos a propriedade distributiva, como por exemplo:

(3x + 2)(4x - 5) =

= 3x (4x -5) + 2(4x - 5)

= (3x)(4x) - (3x)(5) + (2)(4x) - (2)(5)

= 12x2 - 15x + 8x - 10

E 12x2 é produto dos primeiros termos, 15x dos termos externos, 8x dos internos e 10 dos últimos produtos. Os produtos externos e internos são semelhantes e podem ser adicionados como na expressão abaixo:

(3x+2)(4x-5) = 1212x2-7x-10

Uma forma de desenvolver o produto é deixar a organização dos polinômios na forma padrão, em cima do outro assim que os termos iguais estejam alinhados verticalmente.

Produtos notáveis

Alguns produtos são úteis quando, por exemplo, precisamos fatorar polinómios. Eis uma lista

de alguns produtos notáveis.

Alguns produtos notáveis

Sendo u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas.

01. Produto de uma soma e uma diferença:

(u + v)(u-v) = u2-v2

02. Quadrado de uma soma de dois termos:

(u + v)2 = u2 + 2uv + v2

03. Quadrado de uma diferença de dois termos:

(u - v)2 = u2- 2uv + v2

04. Cubo de uma soma de dois termos:

(u + v)3 = u3 + 3u2v + 3uv2 + v3

05. Cubo de uma diferença de dois termos:

(u - v)3 = u3 - 3u2v + 3uv2 - v3

Fatoração de polinômios usando produtos notáveis

Um polinômio quando não pode ser fatorado usando os coeficientes inteiros é chamado de polinômio irredutível. O polinômio está completamente fatorado quando está escrito como um produto de seus fatores irredutíveis. Exemplo: 2x2 + 7x - 4 = (2x - 1)(x+4) e x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)(x2 +1). Mas, x3 - 9x = x(x2 - 9) não está completamente fatorado, pois (x2 - 9) não é irredutível. Então, x2 - 9 = (x - 3)(x + 3) e x3 - 9x = x(x - 3)(x + 3). Assim o polinômio está completamente fatorado. O primeiro passo na fatoração é colocar em evidência e remover fatores comuns de seus termos usando a propriedade distributiva. Reconhecendo a forma expandida dos produtos notáveis é que ajuda a fatorar uma expressão algébrica e a forma mais fácil de identificar é a diferença de dois quadrados. O primeiro e o último termo são quadrados de u e v e o termo central é duas vezes o produto de u e v. Os sinais da operação antes do termo central e no binómio são os mesmos.

Observe agora a soma e a diferença de dois cubos (mais dois casos de produtos notáveis).

Fatoração de trinômios

Fatorar o trinômio ax2 + bx + c como um produto de binómios com coeficientes inteiros

requer fatorar os inteiros a e c.

Pelo fato de o número de fatores de a e c ser finito, podemos listar todos os possíveis fatores

binomiais, isto é, os possíveis fatores formados pela soma de dois monómios. Então, iniciamos

checando cada possibilidade até encontrarmos um par que funcione (se nenhum par funciona, então

o trinômio é irredutível), como no Exemplo 8.

Com a prática você verá que não é necessário listar todos os possíveis fatores binomiais.

Muitas vezes, podemos testar as possibilidades mentalmente.

Para fatorar o trinômio, uma outra opção é utilizar o seguinte resultado:

ax2 + bx + c = a(x — x\)(x — x2)

com jq e x2 soluções da equação ax2 + bx + c = O (veremos a resolução dessa equação posteriormente).

Podemos estender a técnica dos Exemplos 8 e 9 para trinômios com duas variáveis como temos

no Exemplo 10.

Fatoração por agrupamento

Note que (a + b)(c + d) = ac + ad + bc. Se um polinômio com quatro termos é o produto de dois binômios, podemos agrupar os termos para fatorar. Para isso, utilizamos a fatoração colocando o termo comum em evidência duas vezes.

Fatoração de polinômios

01. Observar os fatores comuns.

02. Observar as formas especiais dos polinômios.

03. Usar pares de fatores.

04. Se existirem quatro termos, tentar agrupá-los.

Algumas fórmulas importantes de álgebra

Potênias

Se todas as bases são diferentes de zero:

umun = um+n

u0 = 1

(u/v)^m= u^m/u^n