Revisão MD-I

REVISÃO

AULA 1

Conjunto É um conceito fundamental que está na base de construção da Matemática. Como se trata de um conceito primitivo, conjunto é uma noção que não pode ser definida a partir de outros conceitos da Matemática. Conjunto expressa a ideia intuitiva de reunião de elementos (pessoas, objetos, números, etc.) que podem ser agrupados por possuírem características comuns. São exemplos de conjuntos: o conjunto de todas as letras do alfabeto ou o conjunto de todas as mulheres brasileiras.

i. O símbolo ∈ é usado para relacionar um elemento e seu conjunto, enquanto o símbolo ⊂ é usado para relacionar dois conjuntos;

ii. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto. Ou seja, /0 ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A;

iii. Todo conjunto é um subconjunto de si próprio. Ou seja, A ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A;

iv. Se três conjuntos A, B e C são tais que A⊂ B e B ⊂C então A ⊂C.

UNIAO, INTERSECAO E PRODUTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

i) O conjunto união de A e B é o conjunto formado por todos os elementos de A ou de B. Usamos o símbolo ∪ para representar o novo conjunto união e escrevemos A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}.

ii) O conjunto intersecção de A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a ambos os conjuntos A e B. Usamos o símbolo ∩ para representar o novo conjunto interseção e escrevemos A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}.

iii) O conjunto produto cartesiano do conjunto A pelo conjunto B, o qual é representado por A×B, é o conjunto A×B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}.

iv) O conjunto diferença entre os conjuntos A e B é formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Usamos a notação A−B para o conjunto diferença.

Portanto, A−B = {x | x ∈ A e x 6∈ B}.

Quando estamos estudando conjuntos, podemos nos referir ao conjunto universo representado pela letra U. Numa situação especificada, U é o conjunto que contém como subconjuntos os conjuntos estudados. Para um certo conjunto A, escrevemos A ⊂U, isto é, o conjunto A está contido no conjunto universo U.

Nesta situação, denominamos conjunto complementar do conjunto A ao conjunto formado pelos elementos do conjunto universo U que não pertencem a A. Então, na verdade, este conjunto é representado pela diferença U −A. Também é útil a notação Ac para representar o conjunto

Complementar de A. Assim, Aᶜ= {x | x ∈U e x 6∈ A}.

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO

n(A∪B) = n(A)+n(B)−n(A∩B) fornece o numero de elementos do conjunto união em função do numero de elementos dos conjuntos A e B e do numero de elementos da interseção A∩B.

n(A×B) = n(A) · n(B).

AULA2

NÚMEROS NATURAIS – N é um conjunto infinito e que conhecemos de antemão como escrever

Indefinidamente um após outro os elementos de N. Quais são as propriedades fundamentais do conjunto N de números naturais? São as propriedades conhecidas como Axiomas de Peano. Dentre elas, destacamos duas. A primeira é a que garante a existência de um primeiro numero natural, o numero 1. A segunda garante que todo numero natural tem um “sucessor”. Em geral, o

Sucessor de n  n+1.

Incorporando aos números naturais, os números negativos e o numero zero, chegamos ao conjunto dos números inteiros, Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}. Os números naturais também são chamados de inteiros positivos. Note que, como conjuntos, N ⊂ Z.

RELACAO DE ORDEM

Definição 2.1

Dizemos que o numero inteiro m é menor que o numero inteiro n se na representação sobre uma reta orientada o ponto que representa m aparecer antes do ponto que representa n.

Definição 2.2

Um numero m é dito positivo se for maior do que zero, isto é, m > 0. Um numero m é dito negativo se for menor do que zero, isto é, m < 0. O numero zero não é positivo nem negativo.

PROPRIEDADES OPERACIONAIS PARA A SOMA E MULTIPLICACAO

• Para adicionar números inteiros de mesmo sinal, adicione os números conservando o sinal no resultado.
• Para adicionar números inteiros de sinais diferentes, subtraem-se os números, dando ao resultado o sinal do inteiro de maior valor absoluto.
• O produto de dois inteiros que tem sinais diferentes é um numero negativo cujo valor absoluto é obtido pelo produto dos números.
• O produto de dois inteiros de mesmo sinal é um numero positivo, cujo valor absoluto é obtido pelo produto dos valores absolutos dos números.

NUMEROS RACIONAIS

É necessário considerar frações de um modo geral do tipo m/n , onde m e n são números inteiros arbitrários, inclusive números negativos. Assim, por exemplo, as frações −2/3 e 5/−7 são equivalentes, respectivamente, às frações −2/3 e −5/7.

[pic 1].[pic 2]

i) Inclusão de conjuntos:

Vale a inclusão de conjuntos Z ⊂ Q. Pois se m ∈ Z, então m = m/1 ∈ Q.

ii) Igualdade de números racionais: Dois números racionais m/n e p/r são iguais se e somente

se mr = np. Em símbolos:

m/n = p/r ⇐⇒ m· r = n · p.

Comentário: Já tivemos ocasião de falar sobre essa igualdade antes da definição do conjunto Q. Esse resultado é referido como “regra do produto cruzado” para identificar duas frações iguais ou dois números racionais iguais.

iii) Divisão de números racionais: Se p/r ≠ 0, a divisão do numero m/n por p/r é definida por

m/n ÷ p/r = m/n × r/p = mr/np.

iv) Inverso de números racionais: Se p/r ≠ 0, o inverso de p/r é o numero racional r/p.

Note que p/r x r/p = 1.