ATPS Matemática Financeira etapa 1 e 2

Noções de juros simples (Lineares)

A definição de capitalização a juros simples se concentra na aplicação direta dos conceitos mais básicos de matemática. O valor do montante de uma dívida pode ser calculado de forma linear e muitas vezes até de maneira intuitiva.

Dados Hipotéticos:

Valor do capital...................R$120.000,00

Prazo...................................18 meses

Taxa de juros......................1,25% ao mês

Diagrama da situação

De acordo com o diagrama, você está financiando R$120.000,00 hoje e vai receber R$147.000,00 daqui a 18 meses. Ao apresentar em forma de diagrama uma situação matemática, uma incógnita, que, nesse caso, é o valor a receber(valor futuro F18).

P= 120.000,00

n= 18 m

i= 1,25 a.m/100= 0,0125

F= R$147.000,00

Calculo dos juros pagos no mês 18, J18

O valor pago de juros pode ser calculado diretamente. A expressão a seguir mostra os juros pagos ao término do decimo oitavo mês. Esse valor se refere aos juros acumulados em todo o período. Note que: juro é igual ao valor Presente P multiplicado pela taxa i e pelo tempo n.

Jn = P .i . n

J18 = 120.000,00 .0,0125 . 18

J18 =120.000,00 . 0,225

J18 = R$27.000,00

Calculo do valor futuro a ser pago no mês 18,F18

Uma vez conhecido quanto se paga de juros, em termos monetários, fica fácil determinar o valor a receber ao término do prazo contratado.

O montante ao valor Futuro F é composto pelo pagamento dos juros acrescidos ao valor Presente P ao de origem.

Fn = P + Jn

F18 = 120.000,00 + 27.000,00

F18 = R$147.000,00

Representação gráfica

O valor pago a cada período Fn está em função do tempo e da taxa de juros.

No eixo das abscissas (X) será representado o tempo, e no eixo das ordenadas (y), o valor que deveria ser pago a cada mês Fn.

Valores pagos (capitalização simples)

Tempo n Valor pago Fn

01 F1 = 120.000,00 .0,0125 . 1 = 121.500,00

02 F2 = 120.000,00 .0,0125 . 2 = 123.000,00

03 F3 = 120.000,00 .0,0125 . 3 = 124.500,00

04 F4 = 120.000,00 .0,0125 . 4 =126.000,00

05 F5 = 120.000,00 .0,0125 . 5 = 127.500,00

06 F6 = 120.000,00 .0,0125 . 6 = 129.000,00

07 F7 = 120.000,00 .0,0125 . 7 = 130.500,00

08 F8 = 120.000,00 .0,0125 . 8 = 132.000,00

09 F9 = 120.000,00 .0,0125 . 9 = 133.500,00

10 F10 = 120.000,00 .0,0125 . 10 = 135.000,00

11 F11 = 120.000,00 .0,0125 . 11 = 136.500,00

12 F12 = 120.000,00 .0,0125 . 12 = 138.000,00

13 F13 = 120.000,00 .0,0125 . 13 = 139.500,00

14 F14 = 120.000,00 .0,0125 . 14 = 141.000,00

15 F15 = 120.000,00 .0,0125 . 15 = 142.500,00

16 F16 = 120.000,00 .0,0125 . 16 = 144.000,00

17 F17 = 120.000,00 .0,0125 . 17 = 145.500,00

18 F18 = 120.000,00 .0,0125 . 18 = 147.000,00

Gráfico

Note que existe uma reta ligando os valores, isso é característica de uma função linear de 1° grau.

Dedução algébrica do regime de capitalização simples

Vale ressaltar que o regime de capitalização simples é uma função linear, ou seja, de 1º grau. O valor Futuro é formado pelo somatório do valor principal ou de origem com os juros.

Inicialmente, são calculados os juros que devem ser pagos em n períodos. Juros é igual ao valor Presente P multiplicado pela taxa e pelo tempo, como se observa na fórmula:

Jn = P . i . n

Em seguida, o valor de origem é somado aos juros. Isso possibilita o cálculo do valor Futuro, conforme a fórmula:

Fn =P + Jn

Logo:

FN = P + (P .i .n)

Coloca-se a letra P em evidência, na fórmula:

Fn = P .[ 1 + (i . n) ]

Essa fórmula permite o cálculo direto do valor Futuro a ser pago no período n, dados uma taxa de juros e um valor de origem ou principal.

Aplicação da fórmula:

Fn = P . [ 1 + (i . n) ]

F18 = 120.000,00 .[ 1 + (0,0125 . 18) ]

F18 = 120.000,00 . [ 1 + 0,225 ]

F18 = 120.000,00 . 1,225

F18 = R$147.000,00

Noções de juros compostos (exponenciais)

No regime de capitalização composta também se pagam juros sobre o valor Presente P, mas uma pequena e importante diferença: o valor inicial deve ser corrigido período a período. Essas correções são sobrepostas e sucessivas por ‘n períodos’ em função de uma taxa de juros