Exercícios sobre o cálculo

Exercício 1. Utilizando a idéia do exemplo anterior, encontre a reta tangente à curva y = x3 nos pontos onde

x = 0 e x = −1 .

Solução:

Vamos determinar a reta tangente à curva y = x3 nos pontos de abscissas x = 0 e x = −1 .

(i) x = 0 : Considere a reta secante passando pelos pontos (0, 0) e (h, h3 ) com h “suficientemente pequeno”. A

equação dessa reta secante é dada por

−

− = −

−

3 0 0 ( 0)

0

y h x

h

. Quando h se aproxima de 0, o ponto (h, h3 ) se

aproxima de (0,0) e a reta secante de equação y = h2 x tende à reta de equação y = 0 . Dessa forma, temos que

a reta de equação y = 0 é a reta tangente à curva y = x3 no ponto (0, 0) .

(ii) x = −1 : Considere a reta secante passando por

P ( −1, −1) e Q(−1+ h,(−1+ h )3 ) = Q(−1+ h,−1+ 3h − 3h2 + h3 ) ,

com h “suficientemente pequeno”. A equação da reta secante por P e Q é dada por

(− + − + )− −

− − = − − = − + +

− + − −

2 3

2 1 3 3 ( 1)

( 1) ( ( 1)) (3 3 )( 1)

1 (1)

h h h

y x h h x

h

.

Quando h tende a 0, o ponto Q se aproxima de P, e a reta secante de equação y + 1 = (3 − 3h + h2 )(x + 1) se

aproxima da reta de equação y + 1 = 3(x + 1) . Assim, a reta de equação y = 3x + 2 é a reta tangente à curva

y = x3 no ponto (−1,−1)