Construção de modelos matemáticos

Construção de modelos matemáticos:

Sendo a Pesquisa Operacional um instrumento matemático, quantitativo, através do qual busca-se alocar de maneira eficiente, recursos escassos, visando a obtenção de uma solução ótima para as alternativas disponíveis, a busca dessa eficiência acontece através da formulação (construção) de modelos matemáticos. Modelos estes que representam uma situação real daquilo que buscamos OTIMIZAR. Otimizar significa: MAXIMIZAR as receitas, os ganhos, os lucros, os valores recebidos, a satisfação e tantas outras coisas que entendemos serem boas. Também pode significar MINIMIZAR coisas que a princípio não gostamos ter, como: custos, gastos, despesas, riscos, prejuízos, desembolsos, valores pagos e etc.

A otimização (maximização ou minimização) poderá ser obtida se o modelo matemático a ser resolvido for construído de maneira eficiente. Esse modelo matemático é composto de duas partes. A primeira é a função a ser otimizada, chamada de FUNÇÃO OBJETIVO.

A segunda parte é o que chamamos de RESTRIÇÕES. Restrições são as imposições, as limitações constantes do texto de um problema. No entanto, para que se possa construir (formular) o modelo matemático, ou seja, montar a função a ser otimizada, levando em consideração as restrições (limitações) do problema, é necessário que se obtenha símbolos, denominados (VARÁVEIS DE DECISÃO) que representam uma situação real, efetiva, do que se deseja encontrar, otimizar.

A definição dessas variáveis, é de livre escolha de cada um, porém, deverá ocorrer coerência e consistência na sua definição. Uma vez um símbolo definido, em todo o problema esse símbolo terá o mesmo significado. Essa VARIÁVEL então deverá aparecer na FUNÇÃO OBJETIVO e também nas RESTRIÇÕES, caso contrário estar-se-ia buscando OTIMIZAR uma função sem observar suas RESTRIÇÕES, suas LIMITAÇOES, o que não teria sentido ou significado.

Exemplo de definição de variáveis:

Se o objetivo da função a ser otimizada fosse maximizar o ganho, em decorrência da quantidade a ser produzida de pares de sapatos, botas e bolsas, em uma determinada fábrica, em um determinado período de tempo, a definição das variáveis poderia ser assim representada.

Xs = quantidade de pares de sapatos que a fábrica poderia produzir na semana.

Xb = quantidade de pares de botas que a fábrica poderia produzir na semana.

Xa = quantidade de bolsas que a fábrica poderia produzir na semana.

Obs. a escolha na definição das variáveis fica a critério de cada um, poderia em vez de ser Xs se ter escolhido Q1 ou outro símbolo qualquer.

A letra X, Q, ou qualquer outra nessa posição significa Quantidade, em quanto que a letra s ou o nº1 significa o produto que poderá ser produzido.

Estas informações genéricas serão amplamente desenvolvidas através de exercícios a serem montados em aula.

É importante ficar bem caracterizado que otimizar sempre significa maximizar ou minimizar, ou seja, se maximizarmos ganhos, automaticamente estamos minimizando custos.

Poderíamos então dizer, que tanto faz maximizar lucros ou minimizar custos, no entanto, quase que na totalidade dos problemas só se dispõe de informações que permitem uma das duas situações. Essa é a razão de só podermos maximizar ou minimizar, e não as duas situações no mesmo momento.

Como orientação facilitadora na construção de um modelo matemático, devermos tentar responder as seguintes questões:

Ao ler o problema devemos identificar se o mesmo refere-se a Maximização ou a Minimização.

A seguir verifica-se que Maximiza ou Minimiza algo?

Poderia ser a Maximização de ganhos ou Minimização de custos.

Se ganhos? Verificar o que propicia ganhos? Se custos? O que acarreta custos?

Poderíamos, conforme o caso, responder que os ganhos são decorrentes da Produção/ Vendas de pares de sapatos, ou então, dizer que os custos são decorrentes da compra de rações para cães, se fosse o caso, evidentemente.

A seguir precisamos definir variáveis que sejam capazes de expressar a quantidade de pares de sapatos que poderão ser produzidos para maximizar os ganhos, ou então a quantidade de ração que deveremos comprar para atender as restrições do problema visando à minimização dos custos.

Essas variáveis, anteriormente denominadas variáveis de decisão, permitem que através delas, após sua definição, seja montado o modelo matemático, o qual depois de resolvido, fornece subsídios para a tomada de decisão.

Classificação dos Problemas na Pesquisa Operacional

1- Sequenciação.

Consiste em colocar itens em certa seqüência ou ordem, para executar um determinado serviço ou tarefa, ou seja, é o ordenamento das coisas, é dar prioridades. Exemplo: Uma empresa executa N tarefas que exigem tempos e máquinas diferentes. Devem ser executadas em N máquinas na mesma ordem. Como deveriam ser as tarefas ordenadas de forma a executar todas elas no menor tempo possível.

2- Alocação.

É a alocação de recursos buscando minimizar tempo gasto, buscando maximizar as alternativas de investimentos, procurando otimizar as alternativas, etc.

3- Direcionamento.

É a escolha de rotas, definição de itinerários, escolha de pontos de partida, intermediários e de chegada, etc.

4- Reposição.

Definição do momento adequado à realização de trocas de equipamentos, tratores, táxis, caminhões, motores e etc.

5- Estoques.

Determinação de níveis adequados de estoques, sempre levando em consideração uma série de fatores, dentre os quais cabe mencionar: valores, volume, periculosidade, obsoletísmo, demanda, e outros.

6- Filas.

Racionalização na utilização