Curso de Ciências Econômicas – Segundo Período

Universidade Federal de Pernambuco

Centro Acadêmico do Agreste

Curso de Ciências Econômicas – Segundo Período

Disciplina: Matemática II

Primeiro Exercício

2020.2

1.

(a) Explique por que a função x(t) = e t satisfaz a equação diferencial

x’ = x,

em que x = x(t) e x’ = dx(t)/dt. Observação: não está sendo pedida a resolução da

Equação!

Uma equação diferencial associa uma função incógnita a uma ou mais de suas derivadas.

Assim, por exemplo, a equação: x’ = x

Associa a função x = x(t) a sua derivada x’ = dx(t)/dt.

Quando comparamos as incógnitas das equações algébricas às incógnitas das equações diferenciais, observamos que, enquanto as primeiras são números, as segundas são funções.

A resolução de uma equação diferencial significa a obtenção de todas as suas soluções, ou seja, a obtenção de todas as funções que satisfazem a equação. No caso da equação x’ = x, podemos dizer, então, que x(t) = et é uma solução porque (et)’ = et. Esta solução, no entanto, não é a única.

(b) Faça a distinção entre métodos exatos e métodos qualitativos, na teoria das

equações diferenciais.

Os métodos exatos procuram obter todas as soluções de uma dada equação. São os mais antigos (têm mais de três séculos e surgiram simultaneamente ao cálculo). Apesar da sua importância para o entendimento de determinados conceitos, os métodos exatos são limitados, uma vez que apenas algumas classes de equações permitem a obtenção de todas as suas soluções.

JÁ OS MÉTODOS QUALITATIVOS: estão mais interessados no estudo das propriedades das soluções do que mesmo em encontrá-las. Isso se aplica, por exemplo, a problemas de existência e unicidade, estabilidade e comportamento caótico dessas soluções. A principal corrente dos métodos qualitativos (deixando de lado os teoremas de existência e unicidade) surgiu no final do século XIX, sobretudo com os trabalhos do matemático francês Henri Poincaré. Esses métodos permitem que se compreenda melhor os principais resultados da teoria das equações diferenciais.

2. Diga se as equações abaixo são lineares ou não-lineares e especifique a sua ordem.

Justifique as suas respostas.

(a) P’ = t 2 P,

É linear (embora tenha coeficiente não-linear, em t). É de primeira ordem. A equação é linear porque possuem, nos lados direito e esquerdo, funções lineares (ou seja, polinômios de grau 1), em relação à incógnita e suas derivadas. (Sistemas lineares são aqueles constituídos, exclusivamente, por equações lineares).

(b) x’ = 3x 2 + t,

É não-linear. É de primeira ondem. A equação é não-linear porque possuem, em ambos os lados, funções não-lineares, no que diz respeito à incógnita e suas derivadas. (não-lineares são formados, ao menos, por uma equação não-linear).

3. Classifique as equações abaixo segundo o domínio da incógnita. Justifique as suas