DESENVOLVIMENTO DE INTEGRAL

Muitas demarcações de terrenos na antiguidade, não eram figuras poligonais. Com o intuito de calcular essas áreas, foram desenvolvidos os estudos sobre integrais.

Em seguida, muitos matemáticos dedicaram seus esforços com intensão desenvolver o conceito de integração já não mais somente com o objetivo inicial de calcular áreas.

Alguns deles foram Newton-Leibniz, Cauchy, Riemann e Lebesgue os quais serão

apresentados nesta ATPS

O SURGIMENTO DA INTEGRAL

O conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no século XVII, à idéia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.) na antiguidade.

Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “calculo integral” sistematizado.

Devido a isto, os problemas que se punham eram os de calcular áreas, volumes e comprimentos de arcos.

Por exemplo: suponhamos dada uma função :

f: [a; b] IR, limitada no intervalo [a; b].

Admitamos, por simplicidade, que f seja não negativa, isto é, f (x) ≥ 0, x IR . Consideremos o conjunto S={(x, y) IR²; a x b, 0 y f (x)}, formadas pelos pontos compreendidos entre os eixos das abscissas, o gráfico de f e as retas verticais x = a e x = b.

Qual a área deste conjunto?

Em primeiro lugar, é necessário dizer o que significa a “área” de S, e em seguida, tentar calculá-la.

A área de um subconjunto limitado S no plano IR² deve ser um número real.

Como defini-lo?

Podemos admitir que sabemos calcular a áreas de polígonos e tomar como aproximações por falta deste número as áreas dos polígonos contidos em S.

Isto equivale a pôr: a área de S é o supremo das áreas dos polígonos contido em S.

Poderíamos também considerar as áreas dos polígonos que contém S como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, definiríamos a área de S como o ínfimo das áreas dos polígonos que contém S. Porém, estes dois métodos de definir a área de S nem sempre conduzem a um mesmo resultado.

Ao considerar a área de um conjunto S podemos, por simplicidade, restringir nossa atenção a polígonos de um tipo especial, que chamaremos de polígonos retangulares, os quais são reuniões de retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x = 0 e y = 0.

Mais particularmente ainda, se o conjunto S é determinado por uma função não negativa f: [a; b] IR, de modo que S={(x, y) IR²; a x b,0 y f (x)}, basta considerar os polígonos retangulares formados por retângulos cujas bases inferiores estão sobre os eixos das abscissas e cujas bases superiores tocam o gráfico da função conforme a figura 1.

A área de S, por falta, será definida como integral inferior (figura 1) e a área por

excesso, como integral superior de f.

A teoria da integral desenvolveu-se, segundo as idéias de Newton e Leibniz como o inverso da derivada. Entretanto, Cauchy retornou a concepção de Leibniz com o estudo da integral na classe das funções contínuas em um intervalo [a; b].

De posse da noção de limite definiu integral para uma função contínua em [a; b] representada por:

f (x)dx

Posteriormente o conceito de integral de Cauchy foi estendido à classe das funções quase contínuas por Riemann. O passo decisivo na teoria de integral foi dado em 1901 por Lebesgue.

INTEGRAL DE NEWTON-LEIBNIZ

Considere uma função contínua y = f(x), dado em um intervalo [a; b], salvo seu sinal neste intervalo (figura 2).

A figura, limitada pelo gráfico desta função no intervalo [a; b] e as linhas retas

x = a e x =