Progressão aritmética

Progressão aritmética

Chamamos de progressão aritmética, ou simplesmente de PA, a toda sequencia em que cada número, somado a um número fixo, resulta no próximo número da sequência. O número fixo é chamado de razão da progressão e os números da sequencia são chamados de termos da progressão.

Observe os exemplos:

50, 60, 70, 80 é uma PA de 4 termos, com razão 10.

3, 5, 7, 9, 11, 13 é uma PA de 6 termos, com razão 2.

-8, -5, -2, 1, 4 é uma PA de 5 termos, com razão 3.

156, 152, 148 é uma PA de 3 termos, com razão -4.

100, 80, 60, 40 é uma PA de 4 termos, com razão -20.

6, 6, 6, 6,..... é uma PA de infinitos termos, com razão 0.

 Símbolos usados nas progressões

Em qualquer sequencia, costumamos indicar o primeiro termo por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo por a3, e assim por diante. Generalizando, o termo da sequencia que está na posição n é indicado por an.

Veja alguns exemplos

Na PA 2, 12, 22, 32 temos: a1 = 2, a2 = 12, a3 = 22 e a4 = 32

Quando escrevemos que, numa sequencia, tem-se a5 = 7, por exemplo, observe que o índice 5 indica a posição que o termo ocupa na sequência. No caso, trata-se do 5º termo da sequência. Já o símbolo a5 indica o valor do termo que está na 5º posição. No caso o valor do quinto termo é 7.

A razão de uma PA é indicada por r, pois ela representa a diferença entre qualquer termo da PA e o termo anterior.

Observe os exemplos:

Na PA 1856, 1863, 1870, 1877, 1884 a razão é r = 7, pois:

a2 – a1 = 1863 - 1856 = 7

a3 – a2 = 1870 – 1863 = 7

a4 – a3 = 1877 – 1870 = 7

a5 – a4 = 1884 – 1877 = 7

Na PA 20, 15, 10, 5 a razão é r = -5, pois:

a2 – a1 = 15 – 20 = -5

a3 – a2 = 10 – 15 = -5

a4 – a3 = 5 – 10 = -5

 Classificação das progressões aritméticas

Uma PA é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja positiva.

Exemplo:

(7, 11, 15, 19,...) é uma PA crescente. Note que sua razão é positiva, r = 4

Uma PA é decrescente quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que a sua razão seja negativa.

Exemplo:

(50, 40, 30, 20,...) é uma PA decrescente. Note que sua razão é negativa, r = -10

Uma PA é constante quando todos os seus termos são iguais. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que sua razão seja igual a zero.

Exemplo:

Determine x para que a sequência (3+ x, 5x, 2x + 11) seja PA.

5x – ( 3 + x ) = 2x + 11 – 5x

5x – 3 – x = 2x +11 – 5x

5x – x – 2x + 5x = 11 + 3

7x = 14

x = 14/7 = 2

 Fórmula do termo geral da PA

an = a1 + (n – 1).r

Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)

r = 4 a1 = 9 n = 61 a61 = ?

a61 = 9 + (61 – 1).4

a61 = 9 + 60.4 = 9 + 240 = 249

Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que a1 = 2 e a8 = 3

an = a1 + ( n – 1 ).r

a8 = a1 + (8 – 1 ).r

a8 = a1 + 7r

3 = 2 + 7r

7r = 3 – 2

7r = 1

r = 1/7

 Representação genérica de uma PA

PA de três termos:

(x, x + r, x + 2r)

ou

(x – r, x , x + r), em que a razão é r

PA de quatro termos:

(x, x + r, x + 2r, x + 3r)

ou