REGRA DE TRÊS

1. REGRA DE TRÊS O estudo das relações entre grandezas é muito antigo e teve sua provável origem na China. Há registros da utilização de conceitos muito parecidos com os tratados hoje em dia em papiros (espécie de papel) confeccionados no Egito, que datam de três mil anos atrás. A aplicabilidade da regra de três, apesar de ter sua criação tão remota, é imensa. Por meio de sua utilização somos capazes de resolver problemas das mais diversas áreas do conhecimento, tais como, física, química, biologia, economia, bem como situações do cotidiano que envolvam proporções entre grandezas. No estudo das proporções (igualdade entre duas razões), tratamos das relações entre diferentes grandezas. Em alguns casos

essas grandezas são diretamente proporcionais, isto é, o aumento de uma grandeza implica no aumento da outra. Em suma, duas grandezas x e y são diretamente proporcionais quando a razão (divisão) entre x e y sempre acarreta o mesmo resultado, ou seja, é constante:

x y

k=

O valor k é denominado constante de proporção e indica o quanto x (o numerador) é maior ou menor que y (o denominador). Veja o exemplo abaixo:

Exemplo 1[1]. Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.

5 min → 100Kg 10 min → 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

5 min → 100Kg 15 min → 300Kg

Assim, verificamos na tabela que a razão entre os valores das

grandezas é sempre a mesma

5 100

10 200

15 300

20 400

1 20

= = = =

Neste caso, a razão .

Em outros casos, as grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, o aumento de uma implica na diminuição da outra, ou seja: Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando o produto entre x e y é constante:

x × y = k

O valor k é denominado constante de proporção.

Representamos x inversamente proporcional a y da seguinte forma:

x ∝

1 y Ou seja, é o mesmo que dizer que x é proporcional ao inverso de y.

Exemplo 2[2]. Veja abaixo uma tabela que relaciona o tempo (y) total em horas de uma viagem feita a uma velocidade (x) em quilômetros por hora:

Velocidade (x) 60 80 100 120

Tempo (y) 4 3 2,4 2

Perceba que quando dobramos a velocidade de 60 para 120, o tempo em horas cai de 4 para 2, ou seja, pela metade. Para ter certeza de que x e y são inversamente proporcionais, o produto deles deve ser constante:

60 × 4 = 240 100 × 2,4 = 240 80 × 3 = 240 120 × 2 = 240

Esta constante, neste caso, representa a distância total percorrida na viagem.

Para resolver problemas em ambos os casos, podemos utilizar o método da regra de três simples ou composta.

2. Regra de três

2. Regra de três

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Regra de três simples

Na regra de três simples, ao resolver um problema envolvendo o estudo de duas grandezas, temos quatro valores a serem analisados, dos quais conhecemos três. Devemos, portanto, determinar o quarto valor com base nos outros três dados. O processo se resume no seguinte roteiro:

Roteiro 1

1. Construir uma tabela agrupando valores de mesma grandeza na mesma coluna e mantendo na mesma linha grandezas diferentes.

2. Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Utilizamos flechas apontadas para o mesmo sentido para indicar que as duas grandezas são diretamente proporcionais, e flechas apontadas para sentidos opostos para indicar que as duas grandezas são inversamente proporcionais.

3. Montar e resolver a equação da seguinte maneira: a) Se as grandezas são diretamente proporcionais: a.1) identificar as proporções; a.2) igualar as proporções e multiplicar os meios entre si e os extremos também entre si. b) Se as grandezas são inversamente proporcionais: b.1) identificar as proporções; b.2) inverter os elementos de uma das colunas (em geral, a que não contém a variável a ser encontrada); b.3) igualar as proporções e multiplicar os meios entre si e os extremos também entre si.

O último item do Passo 3 (tanto de (a) quanto de (b)) se resume em [3]:

a : b = c : d → a . d = b . c

ou

→ a . d = b . c

a e c são os extremos

e b e c são os meios.

Lê-se, a está para b, assim como c está para d.

Vamos ver alguns exemplos práticos.

Exemplo 3[4]. Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha de motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Seguindo o roteiro acima, temos que:

1. Montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x

2. Identificação do tipo de relação: A partir do problema é fácil identificar que conforme aumentamos a área de absorção maior será a quantidade de energia produzida. Dessa forma temos:

Área Energia

1,2 400

1,5 x

Do estudo das grandezas temos que área e energia são diretamente