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1.1 – CONCEITO DE JUROS

Juros compostos são os juros de um determinado período somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros compostos fazem parte de disciplinas e conceito de matemática financeira, e esses juros são representados através de um percentual.

A fórmula de juros compostos pode ser escrita através da remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro, e o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro.

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade quando comparado ao regime de juros simples, uma vez que juros compostos incidem mês a mês. Juros compostos são muito usados no comércio, como em bancos, compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, dentre outros.

Os juros compostos em disciplinas de matemática financeira, geralmente são calculados e aprendidos com a utilização da calculadora HP 12C, mas também é possível resolver seus cálculos e a fórmula no Excel.

Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo

Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento.

A aplicação de R$4.280,87 proporcionou um rendimento de R$2.200,89 no final de 1.389

dias. A respeito desta aplicação tem-se:

I– A taxa média diária de remuneração é de 0, 02987%.

II– A taxa média mensal de remuneração é de 1, 2311%.

III– A taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 10,8% ao ano,

capitalizadas mensalmente é de 11, 3509%.

Caso A

Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo

em um fundo de investimento.

A aplicação de R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento

de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias.

A respeito desta aplicação tem-se:

I –

A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%.

Aplicação = 4280,87

Rendimento = 2200,89

Tempo = 1389 dias

6481,76 = 4280,87 . (1+ i ) ^ 1389

(1,51)^1389 = 1+ i

1.0002987 – 1= i

0,0002987 = i

i = 0,02987%

II –

A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.

6481,76 =

4280,87 (1+i) 30

(1,51)^30 = 1+i

1,01383 – 1 = i

I = 1,3831%

III

– A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada

mensalmente, é de 11,3509%.

Pv

= 4.280,87

Fv

= 6.481,76

N = 1389

dI = 0,02987%

Caso B

Nos

últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse

mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário

de Ana foi de –43,0937%.

Taxa real = 1 + ir / 1 + i inf - 1 x 100 =

1 + 0,2578 / 1 + 1,2103

= 1,2578 / 2,2103 =

0,5690 - 1 x 100 =

43,093 %

A matemática financeira estuda as formas da evolução do dinheiro, também é conhecida como matemática do dinheiro, ela nos traz analises e comparações de tempo que podem ser viáveis ou não para a aplicação.

Dentro desta área da matemática temos cinco termos muito utilizados o Capital, Juros, Taxa de Juros, Período e Montante, mais ainda existem outros termos que são utilizados como o regime de capitalização que pode ser visto como capitalização simples e capitalização composta.

Na capitalização simples o juro é sempre capitalizado pelo capital inicial.

Na capitalização composta o juros produzidos serão integrados ao valor do capital.

A HP 12 C é uma calculadora financeira que se pode programar para certos cálculos financeiros, como por um exemplo juros simples e compostos, montantes, amortização. É diferente das outras calculadoras ter um método direto e melhor uso da memória que ela possui.

Caso A

Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram contraídas. Vislumbrados pelo grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta a mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$10.586,00, sendo que 25% deste valor deveriam ser pagos no ato da contratação do serviço e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor da entrada e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses do valor cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês.

Segundo as informações apresentadas, tem-se:

I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$19.968,17.

Roupas Para o Casamento R$ 3.075,00

Buffet R$ 12.646,50

Demais serviços R$ 6893,17 + juros (181,33)

Total R$ 22.796,00

II – A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.

M – 10.000,00 C – 7.939,50 N – 10 meses i - ?

M=C.(1+i )n

10.000 = 7.939,50 (1 + i )^ 10

10.000 = ( 1 + i ) ^ 10

7939,50

(1,2595)^1/10 = 1 + i

1,0233 – 1 = i

0,0233 = i i = 2,3342%

III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, foi de R$ 358,91.

M - ? C – 6893,17 N – 10 dias i – 0,0026 dia

M= 6893,17. (1+ 0,0026)10

M = 6.911,092 ^10

M = 7 074,50

Juros de 181,33

Caso B

Marcelo e Ana pagariam mais juros se, ao invés de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$6.893,17, o casal tivesse optado emprestar de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.

Taxas a juros compostos. Equivalência de capitais a juros compostos. Noções sobre inflação.

Os juros simples são uma forma de capitalização com taxa fixa ao mês, é utilizada as Formulas:

J = C * I * N e para o valor de montante M= C + J.

É utilizado quando todas as taxas permanecem as mesmas durante toda a capitalização, os juros são usados em alugueis de imóveis, financiamento de bens. Podem ser ditos como rendimento de aplicações de curto prazo de referente ao atraso sobre pagamentos realizados.

Juros compostos são teoricamente ''juros sobre juros'' por que se acumular no decorrer do tempo que for sendo utilizado é o método atual por que se gera mais lucro.

Ele cresce de modo geométrico, ou seja o capital deste mês não será o capital utilizado no mês que vem, pois os juros incorporam o capital atual fazendo com que o valor do juros agora faça parte do capital futuro, é muito comum no sistema financeiro.

O Brasil tem taxas como a Selic que é a taxa básica de juros, onde o Banco Central tem como controlar o aumento ou a queda das taxas, assim fazendo com que o país cresça sem apresentar alta de inflação.

As taxas de juros variam de acordo com o contrato, com a aplicação, o risco, dentre outros fatores. Mas há uma taxa específica que serve de referência para todos os contratos: é a Taxa Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia). Ela é considerada a taxa básica de juros no Brasil porque é usada em operações e empréstimos de curto prazo entre os bancos, balizando todas as demais, como os juros do parcelamento da compra de um eletrodoméstico, por exemplo.

Caso A

Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento. A aplicação de R$4.280,87 proporcionou um rendimento de R$2.200,89 no final de 1.389 dias. A respeito desta aplicação tem-se:

I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%.

Aplicação = 4280,87 Rendimento = 2200,89 Tempo = 1389 dias

6481,76 = 4280,87 . (1+ i ) ^ 1389

(1,51)^1389 = 1+ i

1.0002987 – 1= i

0,0002987 = i

i = 0,02987%

II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.

6481,76 = 4280,87 (1+i) 30

(1,51)^30 = 1+i

1,01383 – 1 = i

I = 1,3831%

III – A taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizadas mensalmente é de 11,3509%.

Caso B

Nos últimos dez anos o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário de Ana foi de – 43,0937%.

Juros Simples: é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. A taxa percentual de juros é calculada de acordo com o capital principal. Dessa forma, o rendimento mensal mantém o mesmo valor. A cobrança de juros esta relacionada a financiamentos, compras á prazo, aplicações bancárias, pagamentos de impostos atrasados entre outras situações relacionadas ao meio econômico.

Já os juros compostos após cada período, são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Esse tipo de rendimento é muito vantajoso, sendo utilizado pelo atual sistema financeiro. O juro composto é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos do dia-a-dia.

Passo 1

conceitos taxa a juros compostos. utilização de taxas de juros que fazem parte da economia do Brasil.

Caso A

Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento.

A aplicação de R$4.280,87 proporcionou um rendimento de R$2.200,89 no final de

1.389 dias. A respeito desta aplicação tem-se:

I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%.

II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.

III – A taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizadas mensalmente é de 11,3509%.

Obs: as de amarelo são as que estão certas

Pv = 4.280,87

Fv = 6.481,76

N = 1389 d

I = 0,02987 % resposta

Caso B

Nos últimos dez anos o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse

mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário

de Ana foi de – 43,0937%.

Passo 3

Resolver os desafios apresentados no Caso A e Caso B, julgando as afirmações apresentadas

como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento, utilizando o emulador ou a

calculadora física HP-12C, devem ser devidamente registrados.

Para o desafio do Caso A:

Associar o número 9, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, certa e certa.

Associar o número 8, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, certa e errada.

Associar o número 5, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, errada e certa.

Associar o número 3, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, errada e

errada.

Associar o número 1, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, errada e

errada.

Associar o número 0, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e

errada.

Associar o número 2, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, errada e

certa.

Associar o número 7, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e certa.

Para o desafio do Caso B:

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.

Associar o número 6, se a afirmação estiver errada.

ETAPA 4

Aulas-temas: Amortização de empréstimos.

os conceitos utilizados nos principais sistemas de amortização existentes

Passo

1. Ler atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos amortização de

empréstimos. Pesquisar também em livros didáticos do ensino superior, na internet e em

outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização de amortização

de empréstimos na área de Administração.

Passo 2

Retornar ao Caso B da Etapa 2 para a realização deste passo.

Caso A

Se Ana tivesse acertado com a irmã, que o sistema de amortização das parcelas se

daria pelo SAC, o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00 e o saldo devedor

atualizado para o próximo período seria de R$5.000,00.

Ana pegou emprestado o valor de 30.000,00 em 12 parcelas iguais com a taxa de juros de 2,8% ao mês.

CALCULO DOS JUROS |

Jn | SDn-1 X i | |

J1 | 30.000,00 x 0,0280 = | R$ 840,00 |

J2 | 27.500,00 x 0,0280 = | R$ 770,00 |

J3 | 25.000,00 x 0,0280 = | R$ 700,00 |

J4 | 22.500,00 x 0,0280 = | R$ 630,00 |

J5 | 20.000,00 x 0,0280 = | R$ 560,00 |

J6 | 17.500,00 x 0,0280 = | R$ 490,00 |

J7 | 15.000,00 x 0,0280 = | R$ 420,00 |

J8 | 12.500,00 x 0,0280 = | R$ 350,00 |

J9 | 10.000,00 x 0,0280 = | R$ 280,00 |

J10 | 7.500,00 x 0,0280 = | R$ 210,00 |

J11 | 5.000,00 x 0,0280 = | R$ 140,00 |

J12 | 2.500,00 x 0,0280 = | R$ 70,00 |

CALCULO DO VALOR DAS PARCELAS |

PMTn | An + Jn | |

PMT1 | 2.500,00 + 840,00 = | R$ 3.340,00 |

PMT2 | 2500,00 + 770,00 = | R$ 3.270,00 |

PMT3 | 2500,00 + 700,00 = | R$ 3.200,00 |

PMT4 | 2500,00 + 630,00 = | R$ 3.130,00 |

PMT5 | 2500,00 + 560,00 = | R$ 3.060,00 |

PMT6 | 2500,00 + 490,00 = | R$ 2.990,00 |

PMT7 | 2500,00 + 420,00 = | R$ 2.920,00 |

PMT8 | 2500,00 + 350,00 = | R$ 2.850,00 |

PMT9 | 2500,00 + 280,00 = | R$ 2.780,00 |

PMT10 | 2500,00 + 210,00 = | R$ 2.710,00 |

PMT11 | 2500,00 + 140,00 = | R$ 2.640,00 |

PMT12 | 2500,00 + 70,00 = | R$ 2.570,00 |

N | SD | An | Jn | PMT |

0 | R$ 30.000,00 | R$ - | R$ - | R$ - |

1 | R$ 27.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 840,00 | R$ 3.340,00 |

2 | R$ 25.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 770,00 | R$ 3.270,00 |

3 | R$ 22.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 700,00 | R$ 3.200,00 |

4 | R$ 20.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 630,00 | R$ 3.130,00 |

5 | R$ 17.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 560,00 | R$ 3.060,00 |

6 | R$ 15.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 490,00 | R$ 2.990,00 |

7 | R$ 12.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 420,00 | R$ 2.920,00 |

8 | R$ 10.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 350,00 | R$ 2.850,00 |

9 | R$ 7.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 280,00 | R$ 2.780,00 |

10 | R$ 5.000,00 | R$ 2.500,00 | R$ 210,00 | R$ 2.710,00 |

11 | R$ 2.500,00 | R$ 2.500,00 | R$ 140,00 | R$ 2.640,00 |

12 | R$ - | R$ 2.500,00 | R$ 70,00 | R$ 2.570,00 |

TOTAL | | R$ 30.000,00 | R$ 5.460,00 | R$ 35.460,00 |

Caso B

Ana tivesse acertado com a irmã, que o sistema de amortização das parcelas se

daria pelo sistema PRICE, o valor da amortização para o 7º período seria de R$

2.780,00 e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$2.322,66 e

o valor do juro correspondente ao próximo período seria de R$718,60.

Passo 3

Resolver os desafios apresentados no Caso A e Caso B, julgando as afirmações apresentadas

como certa ou errada.

Para o desafio do Caso A:

Associar o número 3, se a afirmação estiver errada.

Para o desafio do Caso B:

Associar o número 4, se a afirmação estiver certa.

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.

CONCLUSÃO

Concluímos que a matemática financeira está presente em muitas situações, principalmente no nosso dia a dia. Muitas das vezes não percebemos o quanto estamos deixando de ganhar, por não entender os fundamentos de juros simples e compostos, e suas diferenças.

Este trabalho foi importante porque nos possibilitou um maior entendimento de, ferramentas que possibilitam uma maior precisão e agilidade no dia a dia do administrador, como o EXEL, e a calculadora financeira. Além de conhecimentos de taxas de juros, que podem ser aplicadas no nosso cotidiano em uma aplicação ou aquisição de alguns bens.

ETAPA 3/ 1º PASSO

SISTEMA SAC

Sistema SAC - Sistema de Amortização Constante

Principal Característica: Parcelas decrescentes, amortização constante.

Como o próprio nome diz, neste sistema a parte da amortização é constante em todas as parcelas. Lembre-se que a amortização é a parte da parcela que efetivamente reduz o saldo devedor. Isso significa, portanto, que o saldo devedor é reduzido mês a mês de um valor constante.

Uma consequência de a amortização ser constante é que o valor das parcelas diminui a cada mês. Lembre-se que a parcela é a soma da parte de amortização mais a parte de juros. À medida que o tempo passa e a dívida vai sendo amortizada (quitada) o valor a ser pago referente a juros sobre o saldo devedor também diminui. Se a parte dos juros diminui e a amortização é constante, então o valor da parcela também vai diminuir.

Esse sistema tem a óbvia vantagem de o valor das parcelas ir diminuindo com o tempo. Porém, o valor das parcelas no início é bastante alto. Algumas vezes não é possível contrair um empréstimo usando esse sistema justamente por causa do alto valor inicial das parcelas.

ETAPA 1

Passo 1

Fundamentos da matemática financeira

Qualquer operação financeira deve estar estruturada em função do tempo e de uma taxa de juros. A seguir temos os nomes de cada componente de uma operação tanto juros simples como composto:

P=valor presente. É o valor inicial de uma operação.

I= taxa de juros periódica.

I= a letra i minúscula quer dizer que a taxa I foi dividida por cem.

n= é o período, o tempo que deve estar em acordo com a taxa de juros.

Fn= valor futuro, é composto de amortização mais juros.

É comum tanto aos juros simples quanto aos juros compostos os seguintes itens: fórmula, valor dos juros, valor futuro, capitalização.

Noções de juros simples

A definição de capitalização a juros simples se concentra na aplicação direta dos conceitos mais básicos de matemática. O valor do montante de uma divida pode ser calculado de forma linear e muitas vezes até de maneira intuitiva.

O regime de capitalização de simples é uma função linear. O valor Futuro é formado pela somatória do valor principal ou de origem com juros.

Inicialmente são calculados os juros que devem ser pagos em n períodos. Juros é igual ao valor presente P multiplicado pela taxa e pelo tempo, como observa na Fórmula 2.1:

〖J 〗_(n = P x i x n ) Fórmula 2.1

Em seguida, o valor de origem é somado aos juros, Isso possibilita o calculo do valor Futuro, conforme a Fórmula 2.2:

F_( n = P + 〖J 〗_n ) Fórmula 2.2

Substitui-se na Fórmula 2.2 a Fórmula 2.1:

Logo:

F_( n = P + ( P x i x n)) Fórmula 2.1

Coloca-se P em evidência, na fórmula 2.3:

〖F 〗_n= P x [1 + (i x n )] Fórmula 2.3

Exemplo:

Você toma R$1.000,00emprestados de uma amigo. Você deverá devolver daqui a 5 meses. Se o regime de capitalização for de juros simples e a taxa combinada de 10% ao mês quanto você deverá pagar a seu amigo?

P= 1.000,00

I=10% ao mês

N= 5 meses

F= ?

F= P x [1 + ( 0,10 x 5)]

F = 1.000 x [1 + (0,10 x 5)]

F = 1.000 x 1,50

F = 1.500,00

Logo, o valor que você deverá pagar ao seu amigo é de R$ 1.500,00.

Noções de juros compostos

No regime de capitalização composta também se pagam juros sobre o valor Presente P, mas com uma pequena e importante diferença: o valor inicial deve ser corrigido período após período. Essas correções são sobrepostas e sucessivas por ´´ n períodos ``em função de uma taxa de juros contratada.

Se o tempo considerado for n períodos e sabendo que (i vezes 1) é igual ao próprio i, a formula geral seguinte poderá ser usada:

F_(n=P x

〖(1 + i)〗^n )

Exemplo:

Você toma emprestado de um amigo R$ 1.000,00. Você deverá devolver daqui a 5 meses. Se o regime de capitalização for de juros compostos e a taxa combinada, de 10% ao mês quanto você deverá pagar ao seu amigo?

F = 1000 x 〖(1+i)〗^5

F = 1000 x 〖(1,10)〗^5

F = 1.610,51

Logo, o valor que você deverá pagar a seu amigo é R$ 1.610,51

Passo 2

Caso A

Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dividas impensadas foram contraídas. Vislumbrados com o grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta a mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveriam ser pagos no ato da contratação do serviço e o valor restante deveriam ser pagos um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor de entrada e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais ( prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses do valor cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite do cheque especial que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês.

Segundo as informações apresentada, tem-se:

I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17.

II- A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.

III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91

Resolução Caso A (utilizando a calculadora HP12c):

I - 3.075,00 ENTER

2.646,50 +

10.000,00 +

6.893,17 +

22.614,67

O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento não foi de R$ 19.968,17.

II – Para iniciarmos este calculo na tela da Calculadora deverá aparecer a letra ´´ c `` , para que isso aconteça devemos pressionar a telha STO e em seguida a tecla EEX em seguida temos:

10.000,00 CHS e em seguida FV

7.939,50 PV

10 n e em seguida i

2,3342%

A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.

III -

6.893,17 PV

0.33 n

7,81 i

7.066,37 logo em seguida pressionamos as teclas referentes ao valor 6893,17 depois –

173,20

O juros do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, não foi de 358,91.

Caso B

Marcelo e Ana pagariam mais juros se, ao invés de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.

Resolução Caso B (utilizando a Calculadora HP12c):

6.893,17 PV

0.33 n

7,81 i em seguida FV

7.066,37

O valor não seria alterado, pois os juros do cheque especial também é composto.

Passo 3

Para o Desafio do caso A

3 A afirmação I esta errada, a afirmação II esta certa e a afirmação III esta errada.

Para o Desafio do caso B

1 Está afirmação esta errada.

ETAPA 2

Passo 1

Seqüência de pagamentos

Atribui-se o nome de seqüência de pagamentos uniformes a uma situação em que um empréstimo é pago em parcelas iguais e consecutivas, período a período. A seqüência de pagamentos uniformes pode assumir duas formas: a de pagamento postecipado e a de pagamento antecipado.

Seqüência de pagamentos uniformes postecipados

Quando o pagamento for postecipado, o primeiro pagamento ocorre somente ao final do primeiro período.

Valor de parcelas em uma seqüência de pagamentos PMT uniformes postecipados em função da quantidade de parcelas n, do valor Presente P e da taxa de juros i .

Exemplo:

Um colega lhe pede R# 1.000,00 emprestados. Para correr o risco, cobra dele uma taxa de juros de 10% ao mês. Ele vai lhe pagar em 5 parcelas iguais (0+5). Determine o valor de cada uma.

Nesse exemplo, o valor IGUAL das parcelas é a incógnita e é representado por PMT. Sempre que se trabalha com pagamentos constantes PMT , a letra ´´n`` deve se referir ao numero de parcelas.

Resolução pela calculadora HP12c:

1.000 CHS depois PV

0 FV

5 n

10 i

PMT VISOR 263,79

Seu amigo deverá lhe pagar 5 parcelas de R$ 263,79. Esse valor deve ser positivo, pois, para você, ele é uma entrada de caixa.

Seqüência de pagamentos uniformes antecipados

A denominação´ pagamento antecipado `` se refere a uma situação em que o primeiro pagamento/recebimento é feito no instante inicial ( no inicio do período). A s demais parcelas assumem individualmente um valor idêntico a esse durante todo o período da operação.

Exemplo:

Você decide comprar um eletrodoméstico de R$ 1.000,00 em 5 parcelas (1 + 4) iguais com entrada igual as parcelas. A loja cobrou uma taxa de juros de 10% ao mês. Determine o valor de cada parcela.

Resolução pela calculadora HP12c:

Para calcular o valor das 5 parcelas, com entrada paga no inicio, a HP tem uma função especial, que deve ser acionada antes do calculo. A função é denominada BEGIN (significa inicio). Ela é acionada pelas teclas g e pela tecla 7 que em baixo esta escrito BEGE.

1.000 PV

0 FV

5 n

10 i

PMT VISOR -239,81

Você deverá pagar 5 parcelas de R$239,81 a primeira no ato da compra.

Caso A

Marcelo adora bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D para ver seus títulos prediletos em casa, como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as características do aparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$4.800,00. No passado, Marcelo compraria em doze parcelas ´´ sem juros `` de R$400,00 no cartão de crédito por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$120,00 acumulados nesses doze meses, ao fim de um ano, Marcelo terá juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontrou o aparelho que deseja a última peça(mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento a vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o valor exato deste dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente a TV para complementar seu ´´ cinema em casa ``. De acordo com a compra de Marcelo, tem-se as seguintes informações:

I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00;

II - A taxa média da poupança nestes doze meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês.

Resolução Caso A (utilizando a calculadora HP12c):

I – a TV orçada inicialmente era de R$ 4.800,00 com o desconto de 10% fica R$ 4.320,00, que é justamente o dinheiro que esta na poupança. O dinheiro que ele salvou do orçamento foi de R$480,00. Portanto o valor do DVD foi de 480,00 e não R$600,00.

II –

4.200,00 PV

12 n

4.320,00 CHS e em seguida FV

i VISOR 0,2350%

a taxa média da poupança nos 12 meses não foi de 05107% e sim de 0,2350%.

Caso B

A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana, a sua irmã Clara, para ser liquidada em doze parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a tava de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês. A respeito deste empréstimo, tem-se:

I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do credito , o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99.

II – Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida será de R$ 2.896,88.

III- Caso Clara opte vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.

Resolução Caso B (utilizando a calculadora HP12c):

I –

30.000,00 CHS e logo em seguida PV

0 FV

2.8 i

12 n

PMT VISOR R$2.977,99

Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do credito, ela pagara R$2.977,99 a cada prestação.

II –

Acionar a função BEGIN

30.000,00 PV

0 FV

12 n

2,8 i

PMT VISOR 2.896,88

Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia da concessão do crédito, ela pagará 2.896,88 a cada prestação.

III –

A fórmula a ser utilizada é:

PMT= (PV x 〖(1+i)〗^(c-1 ) x i)/(1- 〖(1+i)〗^(-n) )

PMT = (30.000 x 〖(1+0,0280)〗^(4-1 ) x 0,0280)/(1- 〖(1+0,0280)〗^(-12) )

PMT = (30.000 x 1,0864 x 0,0280)/0,2821

PMT = 912,57/0,2821

PMT = 3.234,93

Caso Clara opte pagar a primeira prestação 4 meses após a concessão de crédito o valor que ela pagara em cada prestação não será de R$3.253,21 e sim de R$3.234,93.

Passo 3

Para o desafio do caso A

2 A afirmação I esta errada e a afirmação II esta errada.

Para o desafio do caso B

9 A afirmação I esta certa, a afirmação II esta certa e a afirmação III esta errada.

Matemática Financeira

________________________________________

A matemática financeira é a parte da matemática em que se aplica a análise de dados financeiros, como comparativos e relacionamentos. A matemática financeira tem sua origem na análise de juros e se estende até questões mais complicadas como os cálculos atuariais.

Conceitos fundamentais

Os conceitos básicos da matemática financeira são: finanças e economia, que relacionam as variáveis fundamentais da matemática financeira.

Capital

Refere-se ao montante financeiro empregado em algum investimento ou tomado em algum financiamento. Também pode ser chamado simplesmente de montante.

Tudo gira em torno do capital, que é remunerado de acordo com a troca que ocorre entre credor e devedor.

Todas as operações financeiras envolvem algum capital, e no fim, toda operação de matemática financeira busca analisar o impacto das relações entre as partes e o tempo sobre o capital.

Capitalização

A capitalização é a forma de “rentabilização” do capital. A forma de capitalização pode ser habitualmente do tipo simples ou composta. O próximo tópico explica em detalhes as diferenças entre as duas formas de capitalização.

A capitalização por si só conecta o valor presente ao valor futuro através de uma relação matemática, relação que segue a proporção dos juros em função do tempo.

Juro

É a remuneração do capital em função do tempo. O juro é aplicado (multiplicado) pelo capital empregado na capitalização.

Para o devedor, os juros dão o valor do custo do dinheiro em função do tempo do empréstimo, é o ônus financeiro de tomar este recurso emprestado. Sob a ótica do credor, os juros são o rendimento da aplicação, do financiamento cedido, são a taxa de capitalização.

O juro é a taxa que relaciona o valor presente com o valor futuro.

Valor presente

Um capital que está disponível para aplicação ou resgate no dia de hoje, recebe o nome de valor presente.

O valor presente também se refere a tudo aquilo que não possui risco de fator tempo, uma vez que conceitualmente falando, o risco dentro de um mesmo dia é zero. Isso significa dizer também que, ao menos em tese, não se pode emprestar dinheiro para pagamento no mesmo dia e inclusive, se cobrar juros por isso.

O valor presente é intimamente ligado ao valor futuro através da capitalização.

Valor futuro

Um capital que será recebido ou pago no futuro recebe o nome de valor futuro. Por ser um valor a receber, não pode ser utilizado hoje.

Por estar no futuro, o valor futuro corre o risco de fator tempo, de forma proporcional ao tipo de capitalização utilizado no fluxo do investimento ou financiamento.

O valor futuro é intimamente ligado ao valor presente através da capitalização.

Tempo

O tempo refere-se ao prazo de aplicação. É fator determinante para capitalização, uma vez que é a medida que diz a proporção de juros de rendimento que uma capitalização vai pagar ao investidor, ou que o devedor vai ter de pagar ao credor.

Taxa nominal, efetiva e real

Recebe o nome de taxa nominal o valor absoluto de uma taxa de juros, valor que acaba ficando sujeito aos efeitos da inflação. Isso significa dizer que a taxa nominal não desconta a inflação do seu rendimento.

Exemplo 1: uma aplicação que rende 10% ao ano, durante um ano faz um capital de 100 reais se rentabilizarem 10 reais de ganho de juros. Este é um ganho nominal pois não se considera o efeito da inflação.

Exemplo 2: uma aplicação que rende 15% ao ano, durante um ano faz um capital de 1000 reais se rentabilizarem 150 reais de ganho de juros. Este é um ganho nominal pois não se considera o efeito da inflação.

Quando se retira o valor da inflação da taxa nominal, obtém-se a taxa real, que é a taxa de juros líquida do efeito de inflação.

Exemplo 3: uma aplicação que rende 10% ao ano numa economia onde a inflação é de 4% ao ano tem um juro real de 6% ao ano. Este ganho é liquido da inflação, ou seja, considera a taxa de depreciação da moeda.

Exemplo 4: uma aplicação de 1000 reais que rende 15% ao ano numa economia onde a inflação é de 6% ao ano dá um ganho real ao investidor de 90 reais, sendo que os outros 60 reais ganhos apenas compensaram o efeito da inflação.

A taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização está de acordo com o prazo de formação de juros.

Exemplo 5: uma taxa de 2% ao mês que capitaliza todo mês.

Exemplo 6: uma taxa de 20% ao ano que capitaliza todo ano.

Quando uma taxa apresenta período de formação de juros diferente do período de capitalização, há a necessidade de conversão de taxas, e, dependendo do tipo de capitalização tem-se taxas equivalentes ou proporcionais.

Taxas equivalentes e proporcionais

Taxas que resultam no mesmo retorno quando comparadas a um intervalo idêntico e formadas através da capitalização composta são taxas equivalentes.

Exemplo 7: ao regime de juros compostos, uma taxa de 10% ao mês e uma taxa de 21% ao bimestre são equivalentes, pois na capitalização composta capitalizam à mesma proporção.

Taxas que resultam no mesmo retorno quando comparadas a um intervalo idêntico e formadas através da capitalização simples são taxas proporcionais.

Exemplo 8: ao regime de juros simples, uma taxa de 10% ao mês e uma taxa de 20% ao bimestre são proporcionais, pois na capitalização simples capitalizam à mesma proporção.

Fluxo de caixa

O fluxo de caixa é a representação gráfica para uma série de pagamentos e recebimentos em função do tempo. Um fluxo de caixa é representado como sendo uma linha de tempo na horizontal onde setas na vertical indicam entradas e saídas financeiras em relação ao caixa.

A ilustração de um fluxo de caixa é particularmente útil para facilitar a visualização de uma série de entradas e saídas de caixa ao longo do tempo. Um fluxo de caixa ajuda na análise de longos períodos de tempo, principalmente quando a série de fluxos é inconstante, com várias entradas e saídas em diversos valores.

A imagem abaixo ilustra um fluxo de caixa simples, onde no valor presente (onde o tempo corrido é igual a zero) tem-se uma aplicação e no valor futuro (onde o tempo corrido é igual a n) tem-se um resgate, uma saída de caixa da aplicação, que poderia ser um pagamento de juros ou simplesmente o resgate da aplicação.

Exemplo 9: a imagem abaixo ilustra um exemplo prático de utilização da representação de uma série de pagamentos através de um fluxo de caixa:

O fluxo de caixa ilustra uma aplicação de 100,00 que ao longo de três anos pagou 10,00 anualmente e ao final do fluxo devolveu o valor investido, ou seja, os 100,00. Pode-se dizer que este fluxo de caixa rende 10% ao ano por três anos. Por outro lado, também é certo dizer que o fluxo de caixa rendeu 30% em três anos, ou no período.

Formas de capitalização

São duas as formas de capitalização: simples e composta. As formas de capitalização mudam de acordo com a métrica matemática de aplicação dos juros sobre o capital.

Capitalização simples

Na capitalização simples os juros cobrados por período incidem somente sobre o capital. Isso significa dizer que os juros são cobrados sobre o valor do capital empenhado, de maneira proporcional ao tempo.

Exemplo 10: um empréstimo a 15% capitalizado no esquema de capitalização simples rende em três anos, 45% de juros sobre o capital emprestado.

A capitalização simples relaciona o valor futuro ao valor presente através da fórmula abaixo:

Onde:

VF = Valor Futuro

VP = Valor Presente

i = taxa de juros

n = período da aplicação

Exemplo 11: um investimento de 1000,00 aplicado por três meses capitalizado de maneira simples a juros de 5% ao mês retorna um valor futuro de 1150,00, pois, substituindo na fórmula:

Através da inversão da fórmula é possível desenvolver outros tipos de problemas, buscando encontrar por exemplo o valor presente de um valor futuro:

Este tipo de abordagem pode ser particularmente útil quando se deseja avaliar o valor de um investimento a ser feito tendo por base apenas seu fluxo futuro e o retorno em função do risco corrido.

Capitalização composta

Na capitalização composta os juros são cobrados sobre o capital e sobre os juros incorporados a cada período de tempo corrido. Na capitalização composta os juros são cobrados sobre o capital e sobre os juros anteriores.

Exemplo 11: um empréstimo a 10% capitalizado no esquema de capitalização composta rende em dois anos, 21% de juros sobre o capital emprestado.

A capitalização composta relaciona o valor futuro ao valor presente através da fórmula abaixo:

Onde:

VF = Valor Futuro

VP = Valor Presente

i = taxa de juros

n = período da aplicação

Exemplo 11: um investimento de 2000,00 aplicado por três meses capitalizado de maneira composta a juros de 5% ao mês retorna um valor futuro de 2315,25, pois, substituindo na fórmula:

Através da inversão da fórmula é possível desenvolver outros tipos de problemas, buscando encontrar por exemplo o valor presente de um valor futuro:

Este tipo de abordagem pode ser particularmente útil quando se deseja avaliar o valor de um investimento a ser feito tendo por base apenas seu fluxo futuro e o retorno em função do risco corrido.

Comparativo entre as formas de capitalização

Pela diferença entre as fórmulas matemáticas, o comportamento dos retornos obtidos com cada tipo de capitalização é diferente: a capitalização simples tem comportamento proporcional enquanto a capitalização composta tem comportamento exponencial.

O gráfico abaixo ilustra o comparativo entre as duas formas de capitalização em função do tempo:

Para a construção do gráfico foi utilizado um capital inicial de 100,00 aplicado a uma taxa de 300% ao período, por 1,5 períodos. Para comparar as taxas, o intervalo adotado para cada ponto do gráfico é de 0,1 períodos.

Pode-se notar que, capitalizar em períodos menores que o da taxa de juros é mais rentável nos juros simples. Capitalizar em períodos maiores que o da taxa de juros é mais rentável nos juros compostos.

Isso quer dizer que, aplicar em algo que rende 10% ao ano por 6 meses é mais rentável em regime de capitalização simples. Aplicar em algo que rende 10% ao ano por 2 anos é mais rentável em regime de capitalização composta.

Na prática do mercado brasileiro, a capitalização mais utilizada é a composta, e para evitar a diferença de rentabilidade, as taxas são sempre utilizadas no esquema de capitalização diária. Isso significa que, ao se deparar com uma taxa ao mês, por exemplo, o esquema de capitalização composto utilizado capitaliza diariamente de forma a atingir o equivalente ao percentual mensal indicado.

No próximo tópico será apresentado como é feita esta conversão.

Equivalência de taxas

O cálculo de equivalência de taxas é um modelo matemático importante para o investidor que manipula taxas de diferentes períodos. Calcular a equivalência das taxas dá perfeita noção ao investidor sobre qual o nível de rentabilidade é o mais adequado, mesmo quando compara taxas em diferentes períodos de capitalização.

Na capitalização simples, a equivalência de taxas é dada por:

Onde:

iM = taxa de juros do período maior

im = taxa de juros do período menor

p = razão entre período maior e menor

Em juros simples, utiliza-se o termo “taxa proporcional” ao invés de taxa equivalente, mais utilizado para expressar a relação de taxas para regimes de capitalização compostas.

Exemplo 12: a taxa proporcional ao semestre de juros simples que pagam 30% em três anos é de 5% ao semestre, pois:

Para capitalização composta, a equivalência de taxas é dada por:

Onde:

iM = taxa de juros do período maior

im = taxa de juros do período menor

p = razão entre período maior e menor

Exemplo 13: a taxa equivalente ao mês de juros que pagam 23% ao ano é de 1,74% ao mês, pois:

Exemplo 14: o que é mais rentável para o investidor: uma aplicação que rende 1,5% ao mês ou uma aplicação que rende 15% ao ano? Como na pergunta acima não é citado o tipo de capitalização, utiliza-se o padrão de mercado, capitalização composta. A comparação pode ser feita trazendo o juro mensal para a base anual, ou trazendo o juro anual para a base mensal e assim comparando as duas taxas:

• Trazendo a taxa anual para taxa mensal:

Como a taxa anual de 15% representa um retorno mensal de 1,17%, é melhor aplicar no investimento que rende 1,5% ao mês do que no investimento que rende 15% ao ano.

• Trazendo a taxa mensal para taxa anual:

Como a taxa mensal de 1,5% representa um retorno anual de 19,5618%, é melhor aplicar no investimento que rende 1,5% ao mês do que no investimento que rende 15% ao ano.

A aplicação de equivalência é muito comum, inclusive, para trazer taxas ao ano para taxas diárias. Como no esquema de capitalização brasileiro não existe cobrança de juros em dias não-úteis, a base de conversão para p é de 252 para trazer uma taxa diária para taxa anual e de 22 para trazer uma taxa diária para uma taxa mensal, e vice-versa.

Exemplo 15: qual a rentabilidade diária de uma aplicação que rende 50% ao ano? Sabendo que o ano possui 252 dias úteis, a conversão se dará pela fórmula abaixo:

Isso significa dizer que, na capitalização composta, uma aplicação que rende 50% ao ano, rende 0,1610% ao dia.

Sistemas de amortização

Amortização é o processo de pagamento de uma dívida através de uma seqüência de fluxos. Existem diversos tipos de amortização de dívidas, criados cada um com suas características, de modo a atender necessidades de todos os tipos de credores e devedores.

Os principais sistemas de amortização são:

• Sistema americano: pagamento de principal e juros ao final do período;

• Sistema Price: sistema onde o valor da parcela se mantém constante até o final do pagamento;

• Sistema SAC: sistema onde o valor da amortização se mantém constante até o final do pagamento.

Sistema Price

Também conhecido como sistema francês, o sistema Price é utilizada para amortizar uma dívida com parcelas constantes. A fórmula geral da parcela no sistema Price é dada pela fórmula:

Onde:

PMT = Valor da parcela

VP = Valor presente da dívida

i = taxa de juros

n = número de períodos

A tabela abaixo ilustra o fluxo de pagamento, amortização e valor dos juros cobrados ao longo do tempo através do sistema Price de amortização para uma dívida de cinco mil, pagos em quatro parcelas mensais a juros de 3% ao mês:

A tabela acima evidencia bem a característica fundamental do sistema Price: o valor constante da parcela.

Este sistema de amortização pode ser preferível para o investidor que desejar pagar um valor constante, sem alterações ou flutuações, facilitando assim o planejamento financeiro (mesmo que isso implique num custo de financiamento maior).

Sistema SAC

No sistema SAC, abreviação para sistema de amortização constante, como o nome sugere, o valor das amortizações são constantes, fazendo então com que o valor das prestações flutue de acordo com o valor do juro a ser pago. Na prática, conforme a dívida é amortizada, o valor da parcela diminui, uma vez que restam menos juros para incidir sobre o principal devido.

A fórmula geral da parcela no sistema SAC é dada pela fórmula:

PMT = Valor da parcela

VP = Valor presente da dívida

i = taxa de juros

n = número de períodos

k = número do período analisado

A tabela abaixo ilustra o fluxo de pagamento, amortização e valor dos juros cobrados ao longo do tempo através do sistema SAC de amortização para uma dívida de cinco mil, pagos em quatro parcelas mensais a juros de 3% ao mês:

A tabela acima evidencia bem a característica fundamental do sistema SAC: o valor constante da amortização.

Este sistema de amortização pode ser preferível para o investidor que desejar pagar um valor constante de amortização, com alterações ou flutuações na parcela, tornando-se mais suave com o tempo.

Comparativo SAC e Price

Comparando o fluxo de pagamento do sistema SAC e Price, nota-se um valor maior na tabela Price, pois, a prestação paga amortiza principalmente juros ao invés de valor devido nas primeiras parcelas, fazendo com que os juros no geral pesem mais que na SAC. Já como desvantagem do sistema SAC pode-se citar o valor maior da parcela nas primeiras prestações:

SAC e Price são os sistemas de amortização mais utilizados pelo mercado financeiro. Métodos alternativos também podem ser criados a partir destes dois, como o SACRE, sistema de amortização crescente, onde o decréscimo a ser pago no valor de juros é substituído por um maior valor de amortização.

Calculadora HP 12C

A calculadora HP 12C é a calculadora financeira mais utilizada no mercado financeiro. A calculadora HP 12C foi pioneira em trazer diversos cálculos financeiros automatizados e a trabalhar com o conceito de fluxo de caixa.

Diferentemente das calculadoras tradicionais, o cálculo na HP 12C utiliza a metodologia da Notação Polonesa Inversa, um método mais direto de calcular e que trabalha com o conceito de pilhas de memória.

Notação Polonesa Inversa

Na notação polonesa inversa, o operador deve primeiro registrar as variáveis para então aplicar o cálculo entre elas. Enquanto isso, no método algébrico, os operadores matemáticos são utilizados em conjunto com as variáveis.

A tabela abaixo ilustra alguns exemplos de operações feitos em métodos algébricos e em notação polonesa inversa:

Operação Notação algébrica Notação polonesa inversa

Somar dois números

Somar dois números e dividir por um terceiro

Diferença entre um produto e uma divisão

Ao utilizar a HP 12C para seus cálculos financeiros, o investidor deve se adaptar à forma de inclusão de dados.

Exemplo 16: somando 5 e 15 na HP 12C:

Passo Número Comando 1 Comando 2 Tela

1 5 ENTER 5,00

2 15 + 20,00

Resultado = 20

Exemplo 16: subtraindo 10 de 15 e dividindo por 2 na HP 12C:

Passo Número Comando 1 Comando 2 Tela

1 15 ENTER 15,00

2 10 - 5,00

3 2 ÷ 2,50

Resultado = 2,5

Configurações gerais da HP 12C

A HP 12C possui diversas versões disponíveis no mercado, mas que em essência são iguais, ou seja, todas têm a mesma disposição de botões e metodologia para operar funções financeiras básicas, como capitalização.

Algumas teclas da HP 12C apresentam mais de uma função para sua utilização:

• O texto de cor branca indica função primária da tecla;

• Para as teclas com função secundária, o texto é indicado em azul e sua função é acionada pressionando a tecla g;

• Para as teclas com função terciária, o texto é indicado em laranja acima do botão e sua função é acionada pressionando a tecla f.

A imagem abaixo ilustra uma das teclas da HP 12C com três funcionalidades:

Função principal: PV, valor presente;

Função secundária: CFo, define o primeiro valor de um fluxo de caixa;

Função terciária: NPV, exibe o valor presente líquido de um investimento.

Antes de começar seus cálculos na HP 12C é importante limpar as pilhas de memória da calculadora, para que seus dados não sejam misturados com dados antigos armazenados na memória da calculadora.

Para apagar somente o número atual exibido, aperte a tecla CLx.

Passo Número Comando 1 Comando 2 Tela

1 f Σ 0,00

2 f PRGM 0,00

3 f FIN 0,00

4 f REG 0,00

5 f PREFIX 0,00

Resultado = 0,00

Com esta seqüência, o investidor limpa todos os registros de memória da calculadora.

Apesar de não possuírem função terciária aparente, as teclas numéricas configuram o número de casas decimais a serem exibidos através da função f.

Passo Número Comando 1 Comando 2 Tela

1 f 1 0,0

2 f 2 0,00

3 f 3 0,000

4 f 5 0,00000

Resultado = 0,00

Desta maneira é possível exibir números com uma precisão de até nove casas decimais.

Operações financeiras

A HP 12C utiliza o esquema de capitalização composto para seus cálculos. Para trabalhar com cálculos financeiros, suas cinco primeiras teclas (canto superior esquerdo) armazenam as variáveis básicas de qualquer fluxo de caixa. São elas:

• n: armazena o número de períodos aplicados na análise;

• i: armazena a taxa de juros aplicada;

• PV: abreviação do inglês, presente value, valor presente;

• PMT: abreviação do inglês, payment, calcula o valor do pagamento para um empréstimo;

• FV: abreviação do inglês, future value, valor futuro.

Para encontrar o valor de qualquer uma das variáveis da fórmula de capitalização, basta preencher todas as outras e então clicar na variável desejada.

Exemplo 17: encontrar o valor futuro de um investimento de 500 que rende 2% ao mês por 18 meses, na HP 12C.

Passo Número Comando 1 Comando 2 Tela

1 500 PV 500,00

2 2 i 2,00

3 18 n FV -714,12

Resultado = 714,12

Note que o resultado apresentado aparece com valor negativo. Isso ocorre, pois a HP 12C diferencia através de sinais os tipos de fluxo: considerando o valor de investimento como um fluxo positivo, um recebimento assume sinal negativo. Para mudar o sinal do fluxo, pressione a tecla CHS.

Exemplo 18: encontrar a taxa de juros de uma aplicação que em três anos rentabiliza um valor presente de 750 em 1000.

Passo Número Comando 1 Comando 2 Tela

1 750 CHS PV -750,00

2 1000 FV 1000,00

3 3 n i 10,06

Resultado = 10,06%

No exemplo anterior, inverteu-se o sinal do fluxo do valor presente para sinalizar uma aplicação em relação ao valor futuro (recebimento). Caso o valor presente e o valor futuro apresentassem o mesmo sinal, a HP 12C apresentaria a mensagem “Error 5”, que significa erro na operação de capitalização.

Matemática financeira no Excel

O software Excel, parte integrante do pacote Office da Microsoft, atualmente é o programa de computador mais utilizado para soluções em matemática financeira. Sua larga utilização se deve à versatilidade e universalidade que o este programa atingiu ao longo do tempo.

O Excel possui, dentro do seu banco de fórmulas, as principais soluções para cálculos financeiros, facilitando assim a vida do investidor que deseja “planilhar” suas aplicações.

Apesar das diferentes versões de Excel no mercado, as funções básicas não mudaram radicalmente com o tempo, inclusive da parte de cálculo financeiro.

Fórmulas do Excel

No Excel, a célula que exibirá o resultado apresenta fórmula para sua obtenção. Para utilizar uma função pré-configurada, a função deve ser digitada antes e seus argumentos definidos entre parênteses.

Os operadores matemáticos utilizados são símbolos que podem ser encontrados facilmente nos teclados:

Operação Símbolo

Somar +

Subtrair -

Dividir /

Multiplicar *

A tabela abaixo ilustra alguns exemplos de operações feitos em métodos algébricos e pela lógica do Excel:

Operação Notação algébrica Fórmula do Excel

Somar dois números

Somar dois números e dividir por um terceiro

Diferença entre um produto e uma divisão

Operações financeiras

O Excel possui uma vasta biblioteca de fórmulas prontas para aplicação de matemática financeira, as quais seguem uma lógica de utilização apenas para inclusão dos argumentos, sendo as principais::

• Valor presente;

• Valor futuro;

• Número de períodos;

• Taxa de juros;

• Pagamento;

• Valor presente líquido;

• Taxa interna de retorno, e etc.

Para o cálculo do valor presente, o Excel tem a função abaixo:

Onde:

Taxa: taxa de juros ao período;

Nper: número total de períodos;

Pgto: valor de parcelas intermediárias por período, se houver;

vf: valor de futuro ao final do período, se houver;

Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período.

Para o cálculo do valor futuro, o Excel tem a função abaixo:

Onde:

Taxa: taxa de juros ao período;

Nper: número total de períodos;

Pgto: valor de parcelas intermediárias por período, se houver;

vp: valor de presente do começo do período, se houver;

Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período.

Para o cálculo do número de períodos, o Excel tem a função abaixo:

Onde:

Taxa: taxa de juros ao período;

Pgto: valor de parcelas intermediárias por período, se houver;

vp: valor de presente do começo do período, se houver;

Vf: valor de futuro ao final do período, se houver;

Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período.

Para o cálculo da taxa de juros, o Excel tem a função abaixo:

Onde:

Nper: número total de períodos;

Pgto: valor de parcelas intermediárias por período, se houver;

vp: valor de presente do começo do período, se houver;

Vf: valor de futuro ao final do período, se houver;

Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período;

Estimativa: sua estimativa para a taxa, preenchida opcionalmente para melhorar a convergência.

O cálculo de TAXA se dá por iteração, daí a possibilidade da estimativa ser preenchida para melhor convergência de dados.

Para o cálculo do pagamento, o Excel tem a função abaixo:

Onde:

Taxa: taxa de juros ao período;

Nper: número total de períodos;

vp: valor de presente do começo do período, se houver;

Vf: valor de futuro ao final do período, se houver;

Tipo: 0, indica vencimento ao final do período, e 1, indica vencimento no início do período.

Exemplo 19: calcular o valor futuro de um investimento cujo investimento inicial é de 10000 e com parcelas mensais de 100 por 24 meses, com rendimento de 1% ao mês.

Passo Célula Valor Resultado

1 A1 0,01

2 A2 24

3 A3 100

4 A4 10000

5 A5 =VF(A1;A2;A3;A4;0) (R$ 15.394,69)

Resultado = -15394,69

Veja que, assim como para a HP 12C, o valor obtido tem sinal oposto ao do valor das aplicações, indicando a direção oposta ao fluxo de caixa: se as aplicações tem valor positivo, o resgate apresenta valor negativo.