Contabilidade De Custo

ETAPA 3

PASSO 1

1.1 Equações Polinomiais

Denominamos equações polinomiais ou algébricas, às equações da forma:

P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0.

1.2 Teoremas Fundamentais da Álgebra

Toda a equação algébrica P(x)=0 de grau n>0, admite pelo menos uma raiz real ou complexa

OBS:

Equações de 5º grau ou maiores não possuem fórmulas para a sua solução direta.

1.3 Teorema da Decomposição

Todo o polinômio de grau n tem exatamente n raízes reais e com plexas.

Demonstração

Pelo teorema fundamental, P(x) tem pelo menos uma raiz. Seja ela r1. Logo:

P(x) = (x - r1).Q(x)

Q(x) é um novo polinômio de grau n-1, que possui, também, pelo menos uma raiz. Seja ela r2. Logo:

Q(x)=(x - r2).Q1(x)

Fazendo o mesmo procedimento com q1(x) e continuando até a n-ésima expressão temos

Qn-1(x)=(x-rn).Qn(x)

Em Qn o grau do polinômio será zero e Qn será igual a uma constante que chamamos de an

Substituindo todas as equações obtidas na decomposição de P(x), teremos:

P(x) = an.(x-r1).(x-r2). ... (x-rn)

Exemplo:

Compor o polinômio, sabendo que suas raízes são 1, 2 e 4

Como existem 3 raízes, n=3, então o polinômio é da forma:

P(x) = an.(x-r1).(x-r2).(x-r3)

Fazendo an = 1, temos que:

P(x) = 1. (x-1).(x-2).(x-4)

P(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8

1.4 Multiplicidade de uma raiz

Quando ao decompormos P(x) uma mesma raiz ocorre mais de uma vez a denominamos de raiz múltipla de P(x).

Exemplo:

Se P(x) = (x-1)2.(x-3)

Dizemos nesse caso que das 3 raízes de P(x), a raiz 1 tem multiplicidade 2 enquanto que 3 é uma raiz simples

Teorema das raízes complexas

Se uma equação P(x) = 0 ,de coeficientes reais, apresentar uma raiz complexa (a+bi), podemos afirmar que o seu conjugado (a-bi) também será raiz de P(x), e com a mesma multiplicidade.

Consequência

Num polinômio P(x) com coeficientes reais e grau ímpar há, no mínimo, uma raiz real

Exemplo:

Calcular as raízes da equação:

x4 - x3 - 5x2 + 7x + 10 = 0,

sabendo que (2+i) é uma das raízes

Se (2+i) é uma das raízes, o seu conjugado (2-i) também é raiz da equação. Usando a forma:

P(x) = (x-r1).(x-r2).Q(x) = 0

temos que:

P(x) = [x - (2+i)].[x - (2-i)].Q(x) = 0

P(x) = [(x-2) + i]. [(x-2) - i].Q(x) = 0

P(x) = [(x-2)2 - i2].Q(x) = 0

P(x) = [(x2 - 4x +4) - (-1)].Q(x) = 0

P(x) = (x2 - 4x + 5).Q(x) = 0

Como o polinômio dado é de grau n=4 e sabemos, agora, que é divisível por x2 - 4x + 5 restam duas raízes a se descobrir. Essas raízes produzem um polinômio do tipo ax2 + bx + c.

Assim, podemos dizer que:

x4 - x3 -5x2 + 7x + 10 = (x2 - 4x + 5).(ax2 + bx + c)

ou ainda que:

x4 - x3 -5x2 + 7x + 10 =ax4 + (b-4a)x3 + (c - 4b + 5a)x2 + (-4c + 5b)x + 5c

Igualando os termos correspondentes temos que

a = 1

b - 4a = -1 , logo b=3

c - 4b + 5a = -5 , logo c =2

Logo Q(x) = x2 + 3x + 2

Fazendo Q(x) = 0, temos que x1 = -2 e x2 = -1

Assim, as raízes da equação são S = { -2, -1, 2+i, 2-i}

1.5 Relações de Girard

São chamadas as relações estabelecidas entre raízes e coeficientes de uma equação algébrica.

Consideremos a equação algébrica:

(I) anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0

Se fizermos a decomposição polinomial obteremos:

(II) anxn + (r1+r2+...+rn)xn-1 + (r1r2+r1r3+...+rn-1rn)xn-2 + ... + (-1)nanr1r2...rn

Igualando-se (I) e (II) , temos que:

r1 + r2 + .... + rn = - an-1 / an

r1r2+r1r3+ ... + rn-1rn = an-2 / an

.......................................

r1r2 ..... rn = (-1)n . a0 / an

Exemplo:

Determinar as relações entre as raízes e os coeficientes da equação

2x3 - 4x2 + 6x + 10 = 0

Temos que

n = 3

an = a = 2

an-1 = b = -4

an-2 = c = 6

an-3 = d = 10

Pelas relações de Girard, temos que:

Soma das raízes: -b /a = 4/2 = 2

Soma dos produtos 2 a 2: c/a = 6/2 = 3

produto das raízes: (-1)3. d/a = -10/2 = -5

1.5 Raízes Racionais

Seja