Exercício

Exercício 1

Qualquer sistema de equações pode ser representado na forma AX=B, onde A é a matriz simples (formada pelos coeficientes do sistema), X é a matriz coluna com as incógnitas e B é a matriz coluna com os termos independentes.

Dado o sistema de equações lineares nas incógnitas X, Y e Z, temos

1 -1 1 X = 0

1 -2 -1 Y I

2 1 2 Z J

Consideremos a matriz ampliada do sistema à qual aplicamos o método de Gauss (ou da condensação)

1 -1 1 0 1 -1 1 0

1 -2 -1 I L2= L2- L1 0 -1 -2 I

2 1 2 J L3= L3-2 L1 0 3 0 J L3=(1/3) L3

1 -1 1 0 L1= L1+L3 1 0 1 (1/3)J

0 -1 -2 I L2= L2+L3 0 0 -2 I+(1/3)J L2= -(1/2)L2

0 1 0 (1/3)J 0 1 0 (1/3)J

1 0 1 (1/3)J L1= L1-L2 1 0 0 (1/2)I+(1/2)J

0 0 1 -(1/2)I-(1/6)J 0 0 1 -(1/2)I-(1/6)J L2 L3

0 1 0 (1/3)J 0 1 0 (1/3)J

1 0 1 (1/2)I+(1/2)J

0 1 0 (1/3)J

0 0 1 -(1/2)I-(1/6)J

Voltando ao sistema AX=B, temos

1 0 0 X = (1/2)I+(1/2)J

0 1 0 Y (1/3)J

0 0 1 Z -(1/2)I-(1/6)J

Temos assim,

X = 1 I + 1 J = 1 1 0 + 1 0 1 = ½ 0 + 0 ½ = ½ ½

2 2 2 0 1 2 1 0 0 ½ ½ 0 ½ ½

Y = 1 J = 1 0 1 = 0 1/3

3 3 1 0 1/3 0

Z = -1 I - 1 J = -1 1 0 - 1 0 1 = -½ 0 + 0 -1/6 = ½ -1/6

2 6 2 0 1 6 1 0 0 -½ -1/6 0 -1/6 ½

Exercício 2

((AT)-1 X)T + (AB)-1 = A  ((AT)-1 X )T = A - (AB)-1

Dada uma matriz Ado tipo mxn existe uma matriz –A tal que A+(-A)=Om,n=(-A)+A

Em particular, soma-se –(AB)-1 em ambos os membros

 XT ((AT)-1 )T = A - (AB)-1

Propriedade da transposta: (AB)T = BT AT

[***]  XT ((A-1)T )T = A - (AB)-1

Temos que A é uma matriz regular; Se A é invertível então: (AT)-1 = (A-1)T

 XT A-1 = A - (AB)-1

Propriedade da transposta: (AT)T = A

 XT A-1 A = (A - (AB)-1 )A

Multiplicar ambos os membros por A

 XT In = (A - (AB)-1 )A

Se