Funções Quadráticas, Exponenciais E Suas Aplicações

Primeiro estudamos o sinal da parábola formada pela equação de lucro L(x)=-2x^2+140x-2000:

Temos que A=-2 e portanto a parábola é voltada para baixo.

Calculamos agora o valor de △:

△=b^2-4ac=〖140〗^2-(4×-2×-2000)=3600

Como △>0 a equação tem duas raízes, sendo assim corta o eixo x em dois pontos.

Com as informações acima resolvemos as questões facilmente. Para encontrar o preço com maior lucro basta encontrarmos o x do vértice.

A fórmula para isso é xv=(-b)/2a, substituindo os valores temos que:

xv=(-b)/2a=(-140)/(2×-2)=35

Para encontrarmos qual é o lucro máximo gerado pela escolha de preço de R$35,00 podemos utilizar a equação do yv=-△/4xou ainda substituir na equação L(x)o valor 35. Vamos utilizar a equação do yv:

xv=-△4a=-36004×-2=450

Como já estudamos o sinal da equação e sabemos que o gráfico tem uma parábola voltada para baixo (a<0) e duas raízes (△>0) precisamos apenas encontrar as raízes. Podemos utilizar a equação de Baskhara.

x=-b+-△2a=-140+-602×-2=50 e 20

Assim, no intervalo de 20 até 50 a empresa tem lucro positivo.

Pelo estudo do gráfico sabemos que a empresa trabalha com prejuízo do intervalo de -∞até 20 e 50 até +∞

Substituindo x=35 na equação L(x) temos:

L(35)=-5×(〖35〗^2)+500×35-4500

=1225×-5+17500-4500=6875

Portanto, a empresa terá um lucro de R$6.875,00 nessa nova situação de mercado.

Como a<0 sabemos que a parábola também é voltada para baixo. Assim o preço que gera lucro máximo se encontra no xv:

xv=-b2a=-5002×-5=50

Substituindo o preço 50 na nova equação de lucro temos:

L(50)=-5×502+500×50-4500

=-5×2500+25000-4500=8000

Assim, recomendo o preço de venda de R$50,00 que gerará um lucro máximo de R$8000,00, um acréscimo de R$1.125,00 sobre o lucro com preço de venda de R$35,00.