Matemática - Funções

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RS

FACULDADE DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA A

Polígrafo 5 – Funções: aplicações

 Funções de Oferta e Demanda Linear

 Funções Custo, Receita e Lucro

ADMINISTRAÇÃO

CIÊNCIAS CONTÁBEIS

ECONOMIA

Funções: aplicações

FUNÇÕES DE OFERTA E DEMANDA LINEAR

A demanda ou procura de um bem depende de vários fatores: preço, qualidade, concorrência, renda do consumidor, gostos, clima,... Vamos supor todos esses fatores constantes, exceto o preço, então podemos expressar a quantidade demandada (x) em função do preço (y) através da equação y = ax+b.

Observamos que, em geral, a demanda ou procura de um produto diminui à medida que o preço desse produto aumenta, isto é, a demanda é expressa através de uma reta com declividade negativa (a < 0). Salientamos que somente os segmentos que estão no primeiro quadrante têm sentido para a análise econômica. A oferta linear tem declividade positiva porque a oferta (vontade de vender) de um produto cresce com o aumento do preço.

Diz-se que existe equilíbrio de mercado em relação a determinado produto, quando a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada dessem produto. Algebricamente o ponto de equilíbrio é a solução do sistema formado pelas equações de demanda e oferta.

Exercícios

1) Com um preço de R$ 5,00 por unidade, uma fábrica oferecerá mensalmente 5.000 lanternas de pilha; a R$ 3,50 por unidade, ela oferecerá 2.000 unidades. Determina a equação da função de oferta para este produto. Traça o gráfico desta equação.

2) Uma companhia de ônibus observou que, quando o preço de uma pequena excursão é de R$ 5,00, 30 pessoas compram bilhetes; quando o preço é de R$ 8,00, são vendidos apenas 10 bilhetes. Encontra a equação de demanda e traça o gráfico da equação.

3) Dado o sistema

a) determina qual das equações expressa curva de oferta;

b) determina qual expressa curva de demanda;

c) determina o ponto de equilíbrio;

d) esboça os gráficos.

FUNÇÕES CUSTO TOTAL, RECEITA TOTAL E LUCRO TOTAL

Custo total

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de x e à relação entre eles chamamos função custo total (e indicamos por Ct). Verifica-se que, em geral, existem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos custo fixo (e indicamos por Cf). À parcela de custos que depende de x chamamos custo variável (e indicamos por Cv). Desta forma, podemos escrever:

Ct(x) = Cf + Cv(x)

Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por Cm) o custo total dividido pela quantidade, isto é:

Receita total

Suponhamos agora que x unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de x e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p=f(x). Assim, a receita total pode ser expressa através da função demanda como:

R(x) = p.x = x.f(x)

Lucro total: Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total, isto é:

L(x) = R(x)  Ct(x)

Os valores de x para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de nivelamento.

Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico é achar o lucro.Devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máximo. Para polinômios de 2º grau, será suficiente determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baixo. A abscissa do vértice será o ponto de máximo (quantidade produzida que torna o lucro máximo) e a ordenada do vértice do vértice será o valor máximo do lucro

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Exercícios

1) O custo fixo de uma empresa é 500u.m. sendo o custo variável A função demanda é dada pela expressão . Determina:

a) as funções receita, custo total e lucro total;

b) o intervalo onde o lucro total é positivo;

c) o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro.

2) Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fixo de 600u.m. e, em material, gasta 25u.m. por unidade produzida.