PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

MOQ-13 – PROBABILIDADE E ESTATISTICA

LISTA DE EXERCÍCIOS 3 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS e DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS

1. Dois dados são lançados. Determinar a função de distribuição de probabilidade, a função de distribuição acumulada, a média, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da variável aleatória Z, que é a soma dos pontos obtidos.

R: média=7, variância=5,833, desvio-padrão=2,415 e coeficiente de variação=0,345

2. Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função de densidade de probabilidade:

a. Determine o valor da constante k; R: 2/3

b. Determine a função de distribuição acumulada;

c. Determine a probabilidade de se obter um valor superior a 1,5; R: 1/12

d. Determine o valor esperado da variável aleatória; R: 7/9

e. Determine a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação da variável aleatória. R: variância=0,2284, desvio-padrão=0,478 e coeficiente de variação=0,6146

3. Se X é uma variável aleatória com variância 2, mostre que:

a. +X tem a mesma variância de X;

b. X tem variância 22.

4. O presidente da Martin Corporation está considerando duas alternativas de investimento X e Y. Se cada uma das alternativas for levada a diante há 4 possibilidades de resultado. O valor presente líquido e sua respectiva probabilidade de ocorrência são mostrados abaixo:

INVESTIMENTO X INVESTIMENTO Y

Resultado VP Lucro Probabilidade Resultado VP Lucro Probabilidade

1 $ 20 Milhões 0,2 1 $ 12 Milhões 0,1

2 $ 08 Milhões 0,3 2 $ 09 Milhões 0,3

3 $ 10 Milhões 0,4 3 $ 16 Milhões 0,1

4 $ 03 Milhões 0,1 4 $ 11 Milhões 0,5

a. Qual é o valor esperado do valor presente do lucro para os investimentos X e Y? E qual das oportunidades é a mais interessante (maior valor esperado do VPLucro)? R: X=10,7, Y=11,0. Assim, Y é mais interessante.

b. Qual a variância do valor presente do lucro para os investimentos X e Y? E qual das oportunidades é a mais arriscada (maior variância do VPLucro)? R: X=25,61, Y=3,8. Assim, X é a mais arriscada.

5. Seja X uma variável aleatória contínua com função distribuição de probabilidade dada por:

a. Verifique que a área total sob a curva é igual a 1;

b. Determine a função de distribuição acumulada;

c. Determine a probabilidade de se obter um valor superior a 2,5; R: 1/12

d. Determine p(0 X  2/3) R: 1/9

e. Determine p(1/4 X  3/4) R: 1/12

f. Determine o valor esperado da variável aleatória; R: 17/12

g. Determine a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação da variável aleatória. R: variância=95/144

6. A porcentagem de álcool em um certo composto pode ser considerado uma variável aleatória em que X, 0 x 1, tem a seguinte função de distribuição de probabilidade:

a. Verifique se a função trata-se de uma distribuição de probabilidade.

b. Estabeleça a função de distribuição acumulada.

c. Calcule E(X). R: 2/3

d. Suponha que o preço de venda desse composto dependa do conteúdo de álcool. Especificamente, se 1/3  x  2/3, o composto é vendido por C1 (R$/galão); caso contrário, ele é vendido por C2 (R$/galão). Se o custo do composto é C3 (R$/galão), calcule a distribuição de probabilidade da receita por galão e o valor esperado do lucro. R: E(lucro) = [(101C1+142C2)/243] - C3

7. Em um determinado processo de fabricação, 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. Pergunta-se:

a. Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa R: 0,0081

b. Qual a probabilidade de haver 2 ou mais peças defeituosas em uma caixa R: 0,0815

c. Se a empresa paga uma multa de R$10,00 por caixa em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor esperado da multa num total de 1.000 caixas R: R$4.095,00

8. Um dado é formado com chapas de plástico de 10x10 cm. Em média aparecem 50 defeitos em cada metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson. Pergunta-se:

a. Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente