Propriedades Da Variáncia

Propriedades de Variância e Desvio Padrão.

A variância e o desvio-padrão são medidas de dispersão. Há situações em que as medidas de tendência central, como a média, a moda e a mediana, não são as mais adequadas para a análise de uma amostra de valores. Nesses casos, é necessário utilizar as medidas de dispersão.

Em um vestibular onde o critério de aprovação para a próxima fase é ficar acima da média de acertos dos candidatos, um determinado candidato só precisa comparar seu número de acertos com essa média para saber se passou para a próxima fase.

Para se ter uma ideia do tempo de viagem de uma determinada linha de ônibus, pode-se ter por base o tempo mais frequentemente observado, que seria a moda. Provavelmente, os resultados acima e abaixo desse valor mais frequente podem ter sido obtidos em dias mais atípicos, com mais congestionamento nas ruas, em finais de semana ou em um feriado.

Agora, considere uma escola que deseja ajudar alunos de uma turma com dificuldade em uma determinada matéria, por meio de um projeto específico de acompanhamento desses alunos. Sabendo somente que a média dos alunos dessa turma na referida matéria foi por volta de 6,0, ela não terá informações suficientes para fazer um projeto que atenda adequadamente os alunos com dificuldades. Nesse caso, interessa saber mais sobre os alunos que ficaram abaixo dessa média.

Como calcular

Para situações como essa, as medidas de dispersão são muito úteis. Vamos nos basear nesse último exemplo para mostrar como se calcula a variância e o desvio-padrão.

Considere que um grupo de alunos tenha tirado as seguintes notas em uma determinada matéria: 2,0; 3,0; 3,0; 4,0; 5,0; 6,0; 7,0; 8,0; 9,0; 10,0.

Para calcular essas medidas de dispersão, é útil conhecer a média desses valores:

Agora, calculamos os desvios de todas essas notas em relação à média:

Se calcularmos a média desses desvios, somando-os e dividindo o resultado por 10, ela será nula, pois a soma de todos esses desvios será zero, pelo próprio significado da média como medida de tendência central.

Assim, elevamos ao quadrado esses desvios e, aí sim, tiramos a média dos resultados. É a variância.

Mediadas de variação ou dispersão.

As medidas de variação ou dispersão complementam as medidas de localização ou tendência central, indicando quanto às observações diferem entre si ou o grau de afastamento das observações em relação à média.

As medidas de variação mais utilizadas são: a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.

Amplitude total.

A amplitude total, denotada por at , fornece uma idéia de variação e consiste na diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados. Assim, temos

at = ES – EI,

onde:

ES: extremo superior do conjunto de dados ordenado;

EI: extremo inferior do conjunto de dados ordenado.

A amplitude total de um conjunto de dados. Também por esta razão é extremamente influenciada por valores discrepantes. É utilizada quando apenas uma ideia rudimentar da variabilidade dos dados é suficiente.

Exemplo:

Se X = tempo (h)

Para xi = 9, 7, 5, 10, 4, temos

at = ES – EI = 10 – 4 = 6h.

Significado: todos os valores do conjunto diferem, no máximo, em 6h.

Variância.

A variância, denotada por s2, é medida de dispersão mais utilizada, seja pela sua facilidade de compreensão e cálculo, seja pela possibilidade de emprego na inferência estatística. A variância é definida como sendo a média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética. Assim, temos.

onde:

n – 1: é o número de graus de liberdade ou desvios independentes.

A utilização do denominador n-1, em vez de n, tem duas razões fundamentais:

1. Como a soma dos desvios é nula, ou seja, , existe n-1 desvios independentes, isto é, conhecidos n-1 desvios o último está automaticamente