Aplicações do Excel ao Cálculo Numérico

INTRODUÇÃO

Geralmente as opções de ajuda(Help) que vem nos (softwares) ou aparecem com uma linguagem de difícil compreensão para pessoas leigas na área de Informática ou então são muito sintéticas sem nenhum exemplo prático acompanhando as explicações.

Esta apostila destina-se principalmente aos alunos e Professores da Universidade Federal de São João del-Rei, servindo como um texto básico para várias disciplinas que utilizam a Matemática e Estatística em seus Cursos.

Procurou-se detalhar os passos para a utilização das várias fórmulas que o Excel dispõe, numa linguagem o mais popular possível.

Um dos objetivos é incentivar os Professores a usarem não só o software Microsoft Excel que possui bastante aplicação para várias disciplinas e também em ações do cotidiano., mas também os vários recursos da área de Informática que melhoram consideravelmente o desenvolvimento do Ensino-Aprendizagem com economia de tempo, tornando as aulas mais atrativas e com melhor visualização dos problemas a serem resolvidos.

1. Aplicações do Excel ao Cálculo Numérico

1.1. Raízes de equações transcendentais

Resoluções de equações do tipo f(x) = 0.

1.1.1. Método de Iteração Linear(M.I.L.)

Seja o problema de se determinar a raiz positiva da equação abaixo, , com a tolerância dada igual a 0,0001;

x2 – cos(x) = 0 Equação 1

Fazemos x2 = cos(x) e traçamos as duas curvas: y = x2 e y = cos(x) no mesmo gráfico. Onde se interceptam as curvas são as raízes da equação.

De acordo com os dados da Tabela 1, traçamos as curvas como mostrado no Gráfico 1.

Tabela 1 Gráfico 1

Achamos as possíveis funções de iteração, colocando a equação 1 na forma x = F(x), onde F(x) é uma função de iteração.

Neste caso, as possíveis funções de iteração são:

F1(x) = cos(x)/x

F2(x) = raiz(cos(x)

F3(x) = arc cos(x2)

F4(x) = x2 +x – cos(x)

Agora testamos qual função de iteração pode levar à convergência do método, aplicando as condições:

Se | F’(x0) | > 1 então o método não converge.

Se | F’(x0) |  1 então o método pode convergir.

No nosso exemplo, ao aplicar essas condições, verificamos que:

F1’(x) = (-sen(x) – cos(x))/x2, logo | F1’(0,5) | = 5,428032 então F1(x) é uma função de iteração que não leva à convergência.

F’2(x) = -sen(x)/2*raiz(cos(x)), logo | F’2(x) | = 0,224561 então F2(x) é uma função de iteração que pode levar à convergência deste método.

Vamos usar então estas duas funções de iteração para exemplificar os dois casos: o de convergência e o da não convergência.

Planilha 1

Na planilha acima mostramos a não convergência, usando a função de iteração generalizada:

x i + 1 = cos(x i)/x i

Na primeira iteração, o valor da célula C4 será: = cos(A4)/A4

Aplicamos o teste da convergência que é feito em relação à tolerância dada:

Se | x i + 1 – x i | / | x i | < tolerância então o valor atual x i + 1 é a raiz procurada, caso contrário teríamos que fazer mais iterações até chegar neste valor, caso a função de iteração pudesse levar à convergência.

Na célula C4 a fórmula usada é:

= abs((B4 – a4)/b4)

Verificamos que até à 13ª iteração o método não convergiu.

Na coluna F estão calculados os valores da função f(x) para os valores xi calculados. Na célula F4 temos a seguinte fórmula:

= A4 2 – cos(A4)

Agora usando a função de iteração generalizada:

x i + 1 = raiz (cos (x i))

vamos determinar a raiz da equação x2 – cos(x) = 0, verificando se realmente convergirá.

Planilha 2

A célula B3 da Planilha 2 tem a seguinte fórmula:

= raiz(cos(A3))

A célula C3 tem a seguinte fórmula:

= abs((B3 – A3)/B3)

A célula F3 vem com a fórmula especificada abaixo:

= A 2 – cos(A3))

Verificamos então que o M.I.L., para a tolerância dada, convergiu na 4ª iteração, sendo a raiz da equação igual a 0,824132312.

1.1.2. Método de Newton-Raphson(M.N.R.)

Os passos para se determinar o valor inicial x0 é o mesmo usado no M.I.L. A partir deste valor inicial, usa-se a seguinte função de iteração:

x i + 1 = x i - f(x i)/ f’(x i)

Neste método a tolerância também é dada e o teste da convergência é o mesmo aplicado ao M.I.L., ou seja, as iterações são feitas até que o erro relativo seja menor que a tolerância dada.

Como f’(x) = 2x + cos(x), levando este valor à função de iteração, temos:

x i + 1 = x i - (x i 2 – cos(x i )/ (2*x i + sen(x i))

Planilha 3

A célula B3, que representa a 1ª iteração,