Breve Introdução Sobre Séries de Fourier

Breve Introdução Sobre as Séries de Fourier

Maurício Pinheiro Barroso1, Edson de Jesus Rodrigues Gonçalvez1

1Instituto de Ciências Exatas e Naturais (ICEN) – Universidade Federal do Pará (UFPA)

{barroswar, edson.rodgon}@gmail.com

Abstract. This article presents the history of digital communication. We will begin by talking about the telegraph, considered the forerunner of digital communications. We will then go to the radio, showing the main names and historical moments. In the third part, we will present the invention of the telephone, in the fourth part we will show the evolution in the electronic components. In the fifth part, we will present the historical moments of the invention of television. In the sixth part, we will talk about key moments for digital communication. In the seventh part, we will cover computer networks and the web, in the eighth part, satellite communication and in the last part, we will talk about optical communications.

Resumo. Este artigo apresenta a história da comunicação digital. Começaremos falando do telégrafo, considerado o precursor das comunicações digitais. Passaremos então para o rádio, mostrando os principais nomes e momentos históricos. Na terceira parte, apresentaremos a invenção do telefone, na quarta parte mostraremos a evolução nos componentes eletrônicos. Na quinta parte, apresentaremos os momentos históricos da invenção da televisão. Na sexta parte, falaremos de momentos chave para a comunicação digital. Na sétima parte, abordaremos as redes de computadores e a web, na oitava parte, comunicação via satélite e na última parte, falaremos sobre comunicações ópticas.

1. Introdução

Série de Fourier é uma forma série trigonométrica usada para representar funções infinitas e periódicas complexas dos processos físicos, na forma de funções trigonométricas simples de senos e cossenos. As mesmas foram criadas por 1807 por Jean Baptiste Joseph Fourier.

2. Contexto histórico

Físico e matemático francês, Jean-Baptiste Joseph Fourier (1766-1830) utilizou as séries trigonométricas em suas pesquisas sobre a teoria do calor, elas apareceram em todo seu tratado chamado Théorie Analytique de la Chaleur. Fourier, entretanto, não "inventou" as séries de Fourier. O estabelecimento da teoria do desenvolvimento de funções em séries trigonométrica deveu-se principalmente a Daniel Bernoulli e Leonard Euler. As fórmulas integrais que definem os coeficientes a0, an e bn foram descobertas por Euler em 1777. Hoje, as séries de Fourier, a integral de Fourier e as transformadas de Fourier constituem um ramo da análise matemática de valor incalculável para o estudo dos fenômenos ondulatórios. Amigo e confidente de Napoleão, Fourier fez parte da comitiva do imperador durante a campanha de Napoleão em 1798 para "civilizar" o Egito. Fourier é lembrado também por ter patrocinado o jovem Jean François Champollion, o primeiro a decifrar os hieróglifos egípcios em seu trabalho na pedra de Rosetta.

        Embora se tivesse provado que a afirmação de Fourier de  que toda função pode ser expressa por uma série trigonométrica (série de Fourier) é exagerada, é fato que a classe das funções para as quais essa representação vale, é muito grande.

2. Definição

Uma série de Fourier é a representação de uma função periódica como uma soma de funções periódicas simples, particularmente, cosseno e seno. Fourier mostrou de uma forma muito elegante que a maioria das funções pode ser representada por uma série periódica de infinitos termos:

 [pic 1]

Equação 1.

3. Princípio da Ortogonalidade

Para que a função apresentada na equação 1 possa ser utilizada é necessário determinar os valores das constantes a0, an e bn. Para isto utilizamos o princípio da ortogonalidade, que diz que duas funções são ortogonais no intervalo [a,b] se: [pic 2]

Equação 2.

3. Determinação dos Coeficientes

O cálculo dos coeficientes, supondo que a série de Fourier converge, na qual os coeficientes são dados pela equação 1, é feito da seguinte maneira:

1. Multiplicando a equação 1 por cos(n.π.x/L) e integrando de –L até L:

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