MATEMÁTICA - ANÁLISE COMBINATÓRIA

1. FATORIAL

Seja n um número natural, tal que n > 1. Chamamos de fatorial de n e representamos por n! o produto de todos os números naturais de n a 1. Ou seja :

n! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ... 2 ⋅ 1 , para n ∈ N e n > 1

Por exemplo :

                6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720

                8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 40.320

Observe :

• Para n = 0 e n = 1, define-se n! = 1, ou seja :

1! = 1     e     0! = 1

• Podemos perceber que no desenvolvimento de um fatorial, este pode ser truncado em qualquer número, colocando-se após o mesmo o símbolo “!”.

Assim, por exemplo :

                                8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1[pic 1]

[pic 2]

logo :                        8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6!

Logo, poderemos escrever que :

                                8! = 8 ⋅ 7! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5!, e assim sucessivamente.

Isto, também será de grande valia quando tivermos expressões do tipo [pic 3], onde poderemos realizar a seguinte operação :

[pic 4]

Vejamos alguns outros exemplos :

1. Calcular [pic 5]

Aplicando o conceito de fatorial, teremos : [pic 6]

1. Simplifique a expressão [pic 7], supondo que a mesma esteja definida.

Inicialmente, devemos observar que k + 1 > k –1, logo devemos desenvolver o fatorial de k + 1 até obter o fator k – 1, assim, teremos :

[pic 8]

1. Resolva a equação (n +1)! + n! = 24 (n − 1)! .

Observe que o menor valor de fatorial é n – 1, logo devemos desenvolver os demais fatorial até      n – 1, assim teremos :

(n + 1 ) n (n – 1)! + n (n – 1)! = 24 (n – 1)!

(n – 1)! [ (n + 1) n + n ] = 24 (n – 1)!

(n + 1 ) n + n = 24 ⇒ n2 + n + n – 24 = 0 ⇒ n2 + 2n – 24 = 0

Temos a = 1, b = 2 e c = -24, onde  Δ = b2 – 4 a c = 22 – 4 ⋅ 1 ⋅ (-24) = 4 + 96 = 100 > 0

S = - 2 e P = -24, logo n1 = -6 e n2 = 4, como, por definição n ∈ N e n > 1, temos que n = 4.

Portanto : S { 4 }

1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

Vamos iniciar o estudo do princípio fundamental da contagem ou regra do produto, através de dois exemplos :

1. Há três rodovias ligando duas cidades A e B, e duas rodovias ligando a cidade B a uma cidade C.

[pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

Uma pessoa pretende viajar da cidade A para a cidade C, passando por B. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode escolher que estrada utilizará para realizar a viagem ?

Este problema pode ser resolvido com o auxílio de um esquema, chamado de árvore das possibilidades ou diagrama de árvore. Vamos iniciar representando as possibilidades de escolha da estrada que liga as cidades A e B.[pic 31]

[pic 32][pic 33]

[pic 34][pic 35][pic 36]

[pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

[pic 44][pic 45]

[pic 46][pic 47]

Para cada um das três opções de viajar de A para B, temos duas possibilidades de escolha da estrada que liga B e C. Assim, o diagrama de árvore ficará como :[pic 48]

[pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

[pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62]

[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

[pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84]

[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

[pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96]

[pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

1. Quantos números naturais, de três algarismos distintos podem ser escritos utilizando-se os algarismo 1, 2, 3 e 4 ?

Teremos que, novamente, utilizar o recurso do diagrama de árvore para resolver este problema. Nas nossas escolhas dos algarismos devemos levar em conta que o problema quer números sem repetição de algarismos, assim devemos escolher os algarismos  que representam as centenas, as dezenas e as unidades como :

[pic 102][pic 103][pic 104]

1[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119]	2	3	123
4	124
3	2	132
4	134
4	2	142
3	143
2[pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126][pic 127][pic 128][pic 129][pic 130][pic 131][pic 132][pic 133][pic 134]	1	3	213
4	214
3	1	231
4	234
4	1	241
3	243
3[pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142][pic 143][pic 144][pic 145][pic 146][pic 147][pic 148][pic 149]	1	2	312
4	314
2	1	321
4	324
4	1	341
2	342
4[pic 150][pic 151][pic 152][pic 153][pic 154][pic 155][pic 156][pic 157][pic 158][pic 159][pic 160][pic 161][pic 162][pic 163][pic 164]	1	2	412
3	413
2	1	421
3	423
3	1	431
2	432