O Binômio de Newton

Binômio de Newton

Introdução

Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
    Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Se quisermos calcular [pic 1], podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)4 = (a + b)3 (a+b) = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) (a+b)

= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência [pic 2] a partir da anterior, ou seja, de [pic 3].
    Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
    Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais [pic 4], chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número [pic 5], que indicamos por [pic 6] (lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

[pic 7]

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o  denominador. Podemos escrever:

[pic 8]

É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

[pic 9]

Exemplos:

[pic 10]

[pic 11]

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª)	Se n, p, k  [pic 12] e p + k = n então [pic 13]

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

Exemplos:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

2ª)	Se n, p, k  [pic 17] e p [pic 18] p-1 [pic 19] 0 então [pic 20]

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

Exemplos:

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Triângulo de Pascal

A  disposição  ordenada  dos números   binomiais,   como  na tabela ao lado, recebe  o  nome   de Triângulo de Pascal

[pic 24]

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
    Por exemplo, os números binomiais [pic 25] , [pic 26], [pic 27] e [pic 28] estão na linha 3 e os números binomiais [pic 29],[pic 30], [pic 31], [pic 32], ..., [pic 33], ... estão na coluna 1.

Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

[pic 34]

Construção do triângulo de Pascal

Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como [pic 35]= 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como [pic 36]= 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele
      que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação
      de Stifel).

Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

[pic 37]

Propriedade do triângulo de Pascal

P1   Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.

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