OS NÚMEROS COMPLEXOS

NÚMEROS COMPLEXOS

1. Definições

Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação

x2 + 9 = 0

não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos

x2 = -9

x = ± [pic 1]

mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.

Primeiro, eles definiram um novo número

i = [pic 2]

Isso conduz a i2 = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.

Para a equação acima fazemos

x = ± [pic 3]

x = ± [pic 4]

x = ± [pic 5]. [pic 6]

x = ± 3 i

As raízes da equação x2 + 9 = 0 são 3i e - 3i.

Definição Um número complexo é uma expressão da forma a + bi onde a e b são números reais e i2 = -1. No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos

2 + 5i	parte real 2	parte imaginária 5
[pic 7] [pic 8] i	parte real [pic 9]	parte imaginária [pic 10]
12i	parte real 0	parte imaginária 12
-9	parte real -9	parte imaginária 0

Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

[pic 11]

Igualdade de números complexos

Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:

a + bi = c + di se [pic 12]

Exemplos

2 + 5i = [pic 13]

Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

Fonte: http://www.10emtudo.com.br/demo/matematica/numeros_complexos/index_1.html

2. Aritmética dos números complexos Adição e Subtração Adição (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Para adicionarmos dois números complexos, adicionamos as partes reais e as partes imaginárias Subtração (a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i Para subtrairmos dois números complexos, subtraímos as partes reais e as partes imaginárias Exemplos (3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i = - 4 + 12i Na prática, fazemos (3 + 4i) + (-7 + 8i) = [pic 14] (- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i = - 9 + 8i Na prática fazemos (-5 + 6i) [pic 15] Multiplicação (a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i Multiplicamos números complexos como multiplicamos binômios, usando i2 = - 1 Exemplos [pic 16]= 6 – 8i + 9i – 12i2 Distributiva = 6 + i – 12 . (-1) -8i + 9i = i  e  i2 = - 1 = 6 + i + 12   = 18 + i   [pic 17]= – 8 – 4i + 4i + 2i2 Distributiva = – 8 + 2 . (-1) -4i + 4i = 0  e  i2 = - 1 =  – 8 – 2   = – 10   [pic 18]= – 3i . (4) – 3i . (-2i) = - 12i + 6i2 = - 12i + 6 . (-1) = - 6 - 12i