Os Polinômios

Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição de monômios. Ambos são constituídos por números conhecidos e números desconhecidos. Antes de partirmos para as operações matemáticas que envolvem os polinômios, precisamos entender melhor alguns conceitos. Vamos lá?

→ O que são monômios?

Monômios são constituídos pelo produto entre números conhecidos e incógnitas (números desconhecidos comumente representados por letras). Divisões por incógnitas não são consideradas monômios, mas são chamados de frações algébricas.

Exemplos:

a) 4x

b) 7xy2

O número conhecido é chamado de coeficiente, e o restante do monômio é chamado de parte literal. Caso seja analisado dentro de um polinômio, o monômio também é chamado de termo. Um termo geralmente é reconhecido não por isso, mas por sempre ser separado por somas e subtrações. Quando a parte literal de dois ou mais monômios é igual, dizemos que eles são monômios semelhantes.

→ Exemplos de polinômios

Como dito anteriormente, qualquer expressão algébrica formada pela adição de monômios é chamada de polinômio. Dessa maneira, seguem os exemplos de polinômios:

a) 4xy + 2x + 7yw

b) 4x4 – x2 + 60x – 7

→ Adição e subtração de polinômios

Reescreva os polinômios colocando termos semelhantes lado a lado. Some ou subtraia esses termos da mesma maneira que nos monômios.

A multiplicação de polinômios é totalmente fundamentada na propriedade distributiva mais conhecida como chuveirinho. Para tanto, basta multiplicar cada monômio do primeiro polinômio por todos os monômios do segundo, observando os sinais dos resultados.

Para dividir dois polinômios, utilize o método chave, exatamente como é feito para números inteiros. Observe o exemplo:

Na divisão do polinômio P(x) = x3 + 7x2 + 15x + 9 pelo polinômio D(x) = x + 1, P(x) é o dividendo, D(x) é o divisor e o resultado Q(x) é quociente e é obtido da seguinte maneira:

Os polinômios possuem diferentes graus, podendo ser reconhecidos por meio dos expoentes apontados em suas variáveis literais. Para encontrar o grau de um polinômio, deve-se somar os expoentes das letras de cada termo. A maior soma corresponderá ao grau do polinômio em questão. Veja nos exemplos abaixo:

3x³ + y

Na expressão acima, o primeiro termo do polinômio (que, neste caso, é um binômio) tem expoente equivalente a 3. O segundo termo tem expoente de 1. Como 3 é maior que 1, dizemos que o polinômio em questão tem grau 3.

3x²y + 5x³y³ – xy²

Na soma dos expoentes de cada termo, temos:

3x²y, somando 2 + 1, temos 3;

5x³y³, somando 3 + 3, temos 6;

xy², somando 1 + 2, temos 3.

Como a soma dos expoentes é maior no segundo termo do polinômio, seu grau é 6.

Operações com polinômios

Ao tratarmos de polinômios, podemos aplicar diversas operações, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição com polinômios

A operação de adição de polinômios deve ser feita por meio da soma dos coeficientes de termos semelhantes, ou seja, daqueles com mesma parte literal, conforme o exemplo abaixo:

(- 7x3 + 5 x2y – xy + 4y) + (- 2x2y + 8xy – 7y)

– 7x3 + 5x2y – 2x2y – xy + 8xy + 4y – 7y

– 7x3 + 3x2y + 7xy – 3y

Como podemos observar acima, os termos semelhantes são colocados lado a lado e a soma dos termos é feita sequencialmente. Abaixo, mais um exemplo:

(3x3 + 2x2 + x + 1) + (x3 + 4x2 – 15x – 1)

3x3 + 2x2 + x + 1 + x3 + 4x2 – 15x – 1

(3 + 1)x3 + (2 + 4)x2 + (1 – 15)x + 1 – 1

4 x3 + 6 x2 – 14x

Subtração com polinômios

A subtração entre polinômios envolve uma propriedade da multiplicação, chamada de distributiva, modificando todos os sinais do segundo polinômio da operação. Apenas após a realização dessa troca de sinais é que é possível dar sequência ao processo de subtração. Veja no exemplo:

(4x2 – 5ky + 6k) – (3x – 8k)

4x2 – 5xk + 6k – 3xk + 8k

4x2 – 8xk + 14k

Como é possível ver no exemplo acima, mais simplificado, o segundo polinômio tem seus sinais completamente invertidos. Abaixo, uma operação mais complexa:

(3x3 + 2x2 + x + 1) – (x3 + 4x2 – 15x – 1)

3x3 + 2x2 + x + 1 – x3 – 4x2 + 15x +– 1

3x3 – x3 + 2x2 + 4x2 + x + 15x + 1 + 1

(3 – 1)x3 + (2 – 4)x2 + (1 + 15)x + 1 + 1

2x3 – 2x2 + 16x + 2

Se observarmos atentamente, a operação de subtração consiste apenas na inversão do sinal entre os polinômios, de modo que, após o processo, segue normalmente, assim como se dá nas operações de adição.

Multiplicação com polinômios

A multiplicação de polinômios leva completamente em conta a propriedade distributiva dos polinômios, popularmente conhecida como “chuveirinho”. Para utilizar esse recurso, é só multiplicar cada monômio do primeiro polinômio por todos os monômios do segundo polinômio, sempre levando em consideração os sinais de cada resultado. Veja abaixo, no exemplo:

(3x2 – 5x + 8) . (-2x + 1)

– 6x3 + 3x2 + 10x2 – 5x – 16x + 8

– 6x3 + 13x2 – 21x +8

Observe