A FÓRMULA E AS SÉRIES APOCALÍPTICA DE SÓSTENES RÔNMEL DA CRUZ

O desenvolvimento dos estudos das séries matemáticas ocorreu devido à necessidade de explicar alguns fenômenos ondulatórios. Sendo assim, diferentes tipos de séries foram descobertas. Uma série númerica converge se a sucessão das reduzidas também chamadas de somas parciais, converge. A sucessão das reduzidas é aquela cujo termo geral é (reduzida de ordem n). As séries do tipo , com α > 1, convergem sempre. Por outro lado, as séries do tipo , com α  1, não convergem, e, então, diz-se que elas divergem. Para α = 1, a série é denominada de série harmônica. Utilizando-se da análise de Fourier, é possível mostrar que: (i) e (ii) . A série do item (i) é conhecida como série de Euler.

2. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA VETORIAL

O ângulo α formado entre dois vetores u e v, é dado pela fórmula:

(1)

Onde: u.v é o produto escalar entre os vetores u e v e u,v são respectivamente os módulos dos vetores u e v.O produto escalar entre dois vetores é a soma do resultado do produto entre as componentes correspondentes desses vetores. Módulo de um vetor é a raiz quadrada da soma dos resultados dos quadrados das componentes desse vetor. Os vetores u e v pertencem a com e n pertencendo a .

Suponha-se que , com e n pertencendo a , seja um vetor  a e que v= seja um vetor  a com e n pertencendo a . Calculando-se o módulo dos vetores u e v, tem-se:

(2)

(3)

Mas,

(4)

Substituindo a expressão 4 na 2, tem-se:

(5)

é uma série geométrica de razão . Sendo assim, tem-se:

(6)

Substituindo a expressão 6 na 3, tem-se:

(7)

Calculando-se o produto escalar entre os vetores u e v, tem-se:

(8)

Substituindo as expressões 5, 7 e 8 na 1, tem-se:

(9)

3. FUNDAMENTOS DO CÁLCULO

Multiplicando ambos os lados da expressão 9 por d e considerando as constantes de integração diferente de zero, após calcular as integrais do lado esquerdo, tem-se as expressões 10 e 11:

(10)

(11)

Resolvendo as integrais do lado esquerdo da expressão 11 utilizando o método da substituição, tem-se:

(12)

(13)

(14)

Substituindo as expressões 12, 13 e 14 na 11, tem-se:

Substituindo

(15)

Onde é a constante de integração.

(16)

Visto que

Substituindo e passando 16 para o plano complexo temos:

Vamos usar o símbolo de somatório

Igualando as partes reais e imaginárias temos

parte real

parte imaginária

(17)

Da