A Geometria Plana
Por: William Nicolau • 25/8/2019 • Exam • 980 Palavras (4 Páginas) • 201 Visualizações
Questão 1
1 Em um plano são dados em torno de um ponto os ângulos adjacentes 𝑎̂, 𝑏̂, 𝑐̂, 𝑑̂ que recobrem todo o plano. Sabemos que os ângulos adjacentes 𝑎̂ e 𝑏̂ tem medidas 52° e 119°, respectivamente. Qual a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos 𝑐̂e 𝑑̂.
Resposta 1
Se os quatro ângulos (a, b, c e d) estão em um plano, ao redor de um mesmo ponto e são adjacentes, significa que a soma desses ângulos forma uma volta completa no ponto, ou seja, 360º.
Então:
a + b + c + d = 360
Sabemos que a = 52° e b = 119°. Logo:
52 + 119 + c + d = 360
171 + c + d = 360
c + d = 360 - 171
c + d = 189
A bissetriz de c é c/2.
A bissetriz de d é d/2.
Logo:
c + d = (c + d) = 189 = 94,5°
2 2 2 2
Resposta 2
Como a, b, c e d são adjacentes e, a = 52º e b = 119º. Assim:
a + b = 52º + 119º
a + b = 171º
como todo o plano mede 360º, assim:
a + b + c + d = 360º
171º + c + d = 360º
c + d = 360º - 171º
c + d = 189º
como as bissetrizes de c e d dividem esses ângulos ao meio e, como c + d = 189º, logo devemos ter 189º/2 = 94,5º, que é a medida procurada
A medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos c e d é 94,5°
Questão 2
Considere quatro semirretas que partem de uma mesma origem. Mostre que se os ângulos não são todos iguais, ao menos um deles é agudo e ao menos um deles é obtuso
Resposta 1
Temos um ângulo obtuso (maior que 90º) e um ângulo agudo (menor que 90º).
Inicialmente, devemos ter em mente que a circunferência possui 360º. Vamos considerar que as semirretas possuem mesmo ângulo. Como temos quatro semirretas, nessa situação, o ângulo entre cada uma delas seria 90º.
Agora, vamos alterar a inclinação de um semirreta, pois temos a informação que os ângulos não são todos iguais. Ao aumentar um ângulo, consequentemente o ângulo adjacente irá diminuir. Como estamos partindo de 90º, vamos ter um ângulo maior que 90º (obtuso) e um ângulo menor que 90º (agudo).
Questão 3
Em um triângulo ABC são dados 𝑚(𝐴𝐵̂𝐶) = 72°21′ e 𝑚(𝐴𝐶̂𝐵) = 47°39′. Calcule a medida do ângulo formado pela bissetriz interna do ângulo 𝐴𝐵̂𝐶 com a bissetriz do ângulo externo do vértice C.
Resposta 1
O ângulo é de 30°.
Primeiro, vamos calcular a medida do ângulo externo do vértice C.
Esse ângulo forma, junto com 47°39', um ângulo raso, de 180°. Logo:
y + 47°39 = 180°
y = 180° - 47°39'
y = 132°21'
A bissetriz dividi esse ângulo na metade. Logo:
133°01' ÷ 2 = 66°10,5'
A bissetriz interna do ângulo aBc o divide na metade. Logo:
72°21' ÷ 2 = 36°10,5'
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Logo:
36°10,5' + 66°10,5' + 47°39' + x = 180°
102°21' + 47°39' + x = 180°
149°60' + x = 180°
150° + x = 180°
x = 180° - 150°
x = 30°
[pic 1]
Resposta 2
Explicação passo-a-passo:
Temos que o ângulo ACB ou simplesmente C = 47º39', chamando o ângulo externo a C de Ae, então:
Ae + C = 180º
Ae + 47º39' = 180º
Ae = 180º - 47º39'
Ae = 179º60' - 47º39'
Ae = 132º21'
Ae = 132º20'60"
Temos que ABC ou simplesmente B = 72º21' => B = 72º20'60"
Como a bissetriz BD divide B em duas partes iguais a B/2 = 36º10'30". A bissetriz CF divide o ângulo Ae em duas partes iguais a Ae/2 = 66º10'30". Sendo G o ângulo formado por BD e CF, então, de acordo com o triângulo BCG (ver imagem em anexo), temos que:
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