A Lógica Dedutiva e o Método Axiomático

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA–UnB

Disciplina:  Geometria I

Professor: Mauro Luiz Rabelo

A lógica dedutiva e o método axiomático.

Para saber o funcionamento do método axiomático usaremos alguns métodos, explicando o seu uso e seus pontos forte e debilidades.

1. Experiência.

A experiência, aleatória ou planejada, é uma maneira limitada de adquirir conhecimento. Este método depende de observações e do uso de nossos sentidos que não são tão precisos para fornecer informações e estabelecer uma verdade.

1. Autoridade.

Baseia-se na imposição de informação como sendo verdades nos mais diversos assuntos. Este método é usado constantemente nas ciências humanas e sociais. A confiança nas verdades esta relacionada à competência da autoridade.

1. Revelação.

É exclusividade para verdades religiosas.

1. Raciocínio lógico.

Está dividido em três ramos principais: analítico, dedutivo e indução.

• Raciocínio Indutivo

Começa com uma série de casos particulares, dos quais pretendemos induzir algum princípio mais geral a partir de uma de verdades específicas obtida por observação com alto grau de estarem corretas.

• Analógico

Observa uma situação semelhante àquela que enfrentamos e induzimos que o resultado será o mesmo ou semelhante. Baseia-se no princípio que o universo e tudo dentre dele é uniforme e que condições iniciais semelhantes produzirão resultados semelhantes. Porem o universo não é uniforme e as condições iniciais semelhantes não precisam produzir resultados semelhantes.

• Raciocínio Dedutivo

Consiste em provar a veracidade de uma declaração exclusivamente baseada na veracidade de outra declaração e o uso de regras de inferência bem delineadas. Há pelo menos três exigência para um bom funcionamento deste método dedutivo:

• Premissas ou hipóteses (ou axioma ou postulado) .
• Concordamos no que diz respeito a como uma declaração segue a outra.
• Para aplicar o raciocínio temos que dominar bem a linguagem comum e escolher os termos primitivos.

Este processo tem que saber escolher a declaração inicial que vamos supor verdadeiras.

Estas declarações são chamadas de axioma ou postulados.

Geometria Euclidiana

Ponto: sem largura ou comprimento, um lugar no plano.

Reta: os caminhos em que os pontos são alinhados.

 Estas “definições” pouco esclarecem a natureza que está sendo definida e é preciso escolher os axiomas que Euclides deu para geometria plana.

Axioma 1: Para cada ponto P e cada ponto Q, não iguais a P, existe uma única reta r

Axioma 2: Para cada segmento AB e para cada segmento CD, existe em único ponto E tal que  B está entre A e E e CD é congruente a BE

Axioma 3: Para cada ponto 0 e para cada ponto Anão iguais a 0, existe uma circunferência com centro  0 e raio 0A

Axioma 4: todos os ângulos são congruente.

Axioma 5:  Para cada reta l e cada ponto P que não pertence a l, existe uma única reta m que passa por P e é paralela a l.

1. Lógica informal

Temos regras a ser seguidas e não podemos utilizar algo externo.

1. Teoremas e demonstrações.

Teorema: frase declarativa que é verdade

Demonstração: usa regras, axiomas e teoremas já conhecidos para verificar a veracidade.

Hipótese: cada demonstração começa com a hipótese

Tese: conclusão

Justificativa pode ser por hipótese, axioma, teorema, definição, demonstração, regra ou argumento lógico.

1. Regras de lógica ou argumentos lógicos.

Teorema: são declarações sobre o assunto em estudo

Argumento: são processos de raciocínio lógico que usamos para decidir se uma declaração é ou não verdadeira. Podem ser válido ou não.

Demonstrações podem ser diretas mais frequentes ou indiretas.

 

1. Regras de Lógica.

• Para provar uma frase condicional, é permitido assumir sua hipótese e provar sua tese.
• Se A então B são verdadeiras e B é verdadeira.
• Para provar a declaração Se A então B, é permitido assumir temporariamente que a negação da tese B é verdadeira e usar a hipótese A para deduzir uma declaração falsa.
• Negação: negar frases simples pelo verbo sempre dá bom resultado, enquanto negar pelo complemento pode dar confusão.
• Se d é uma declaração então~(~D) tem o mesmo significado que D podendo-se substituir uma Lea outra em qualquer afirmação dentro de uma demonstração.
• Conjunções: é o processo de juntar frases querendo exigir a veracidade de cada uma delas.
• A declaração ~(H implica T) tem o mesmo significado que H e ~T.
• Conectivos entre as frases

• Ou : Disjunção, pelo menos uma delas é verdadeira
• Conjunção: se a frases são verdadeiras, então a conjunção é verdadeira. Se alguma das frases for falso a conjunção deixa de ser verdade.

• A declaração ~(A e B) tem o mesmo significado que (~A) ou (~B).
• A declaração ~(H =>2T) tem o mesmo significado que H e ~T.
• A declaração ~(A e B) tem o mesmo significado que (~A) ou (~B).

• Qualificadores: há duas maneiras de qualificar uma varia uma variável, existencialmente (exigir que exista) e universalmente (atribui uma propriedade a todas as coisasnum conjunto).

• A negação da declaração Para cada x, A(x) tem o mesmo significado que a declaração Existe x tal que ~A(x).
• A negação da frase Existe x tal que A(x) tem o mesmo significado que Para cada x, ~A(x).
• (uso do “ou”) Se P é verdadeira, qualquer que seja a afirmação Q, é válido

concluir que P ou Q é verdadeira ; Se Q é verdadeira, qualquer que seja a

afirmação P, é válido concluir que P ou Q é verdadeira; Se P ou Q é

verdadeira é válido concluir que uma das duas ou P ou Q é verdadeira.

(Nosso problema é que podemos não saber qual!);

• b) (uso do “e”)

Se P e Q é verdadeira, é válido concluir que P é verdadeira;

Se P e Q é verdadeira, é válido concluir que Q é verdadeira;

Se P é verdadeira e se Q é verdadeira, é válido concluir que P e Q é verdadeira;

• c) Se ~Q => 2 ~P é verdadeira é válido concluir que P =>2 Q é verdadeira;
• d) Se P =>2 Q é verdadeira e Q =>2 R é verdadeira, é válido concluir que P =>R é verdadeira;
• e) (A ou B) 2 C é a mesma coisa que (A 2 C) e (B 2 C);
• f) Se (para qualquer x em D), A(x) é verdadeira e y é um membro de D então

A(y) é verdadeira;

• g) (Existe x em D) tal que A(x) é verdadeira se e somente se podemos

• encontrar y em D tal que A(y) é verdadeira.
• Para cada declaração P, P ou  ~P é verdadeira e P e ~P é falsa.