A história da aparência de integrais

Passo 1

História do surgimento das integrais

Para realizar um estudo completo sobre as origens, desenvolvimento e conseqüências do Cálculo, necessitaríamos de uma pesquisa muito extensa cujo resultado final seria, sem dúvida, um texto longo que estaria além do propósito deste trabalho como um todo. Daremos uma apresentação geral que contem alguns fatos que permeiam os acontecimentos históricos relacionados com o Cálculo.

As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas - por exemplo, Cavalieri,Barrow, Fermat e Keplerr. Nesse tempo ainda não havia uma sistematização, no sentido de uma construção logicamente estruturada.

A união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas, aconteceu com Newton e Leibniz que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais. Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura, enfrentados pelos gregos para a medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas. Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante.

Na Antiguidade, foram introduzidas algumas idéias do cálculo integral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas idéias de forma rigorosa e sistemática. A função básica do cálculo integral, pode ser remontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 a.C.). Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa idéia além, inventando a heurística, que se aproxima do cálculo integral Na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 499 d.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação diferencial básica. Essa equação levou Bhāskara II no século XII a desenvolver uma derivada prematura representado uma mudança infinitesimal. Coube a Gottfried Wilhelm von Leibniz e a Isaac Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico que viria a constituir o cálculo.

A ambos é atribuída a simultânea e independente invenção do cálculo. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculo independentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina, Newton a chamara de "A ciência dos fluxos". Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann, Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. . Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias de Isaac Newton e Gottfried Leibniz; escreveu também um dos primeiros livros sobre cálculo diferencial e integral . É dela também a autoria da chamada "curva de Agnesi".

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:∫▒〖(a^3/3+3/a^(3 ) 〗+3/a^( ) ) da?

a) F(a)=12a^4-(〖3a〗^(-2) )/2+ In⃒3a⃒+c

b) F(a)=a^4/12-3/〖2a〗^2 +3 In⃒a⃒+c

c) F(a)=a^4/12-2/〖3a〗^2 -3 In⃒a⃒+c

d) F(a)=12a^4-3/〖2a〗^(-2) + In⃒a⃒+c

d) F(a)=a^4-3/〖2a〗^2 +3 In⃒a⃒+c

Resolução:

∫▒〖(a^3/3+3/a^(3 ) 〗+3/a^( ) )=a^3.3+ 〖3a〗^(-3)+3a=a^3/3+〖3a〗^(-3)+3a=a^4/12-3/〖2a〗^2 +3 In⃒a⃒+c .

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q) , o

custo total para se perfurar q pés, é:

(a) C(q) =10.000 +1.000q + 25q2

(b) C(q) =10.000 + 25q +1.000q2

(c) C(q) =10.000q2

(d) C(q) =10.000 + 25q2

(e) C(q) =10.000q + q2 + q2

Resolução:

∫▒ 1000+50q.dq=

1000q+50q2/ 2=

1000q+25q2/ 2+C=

C(q)=1000q+25q2 +10000

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C (t)=16,1×e^0,07t . Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

Resolução:

dx du

u=0.07t  

u`=0,07 C(t) =16.1 x 〖 e〗^0.07t

dx/(du´)=1/0,07= dx=du/0,07

∫_2^4▒ 16,1 e^0,07t dx = 〖16,1 ˙du ˙ e〗^u ∫_2^4▒ =

∫_2^4▒