Noções de integrais indefinidas, definidas áreas e cálculo

Passo1

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História da Integral

O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura não mudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral.

Historicamente, Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas, regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente. Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" (isto é, encontrar a área de um círculo) com uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc., etc. Seu problema era o "etc., etc.". Como a quadratura do círculo de Antiphon requeria um número infinito de polígonos, nunca poderia ser terminada. Ele teria que ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com rigor matemático. Mas Antiphon tinha o início de uma grande idéia agora chamado de método de exaustão. Mais de 2000 anos depois, creditamos a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento do método de exaustão: uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas; esta técnica foi modificada para atacar cubaturas também.

Arquimedes (287--212 A.C.), o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de triângulos construídos engenhosamente e então usou o argumento da redução ao absurdo dupla para provar o resultado rigorosamente e evitar qualquer metafísica do infinito. Para o círculo, Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência; isto é muito fácil de se verificar hoje em dia, uma vez que ambas as fórmulas dependem de p. Então Arquimedes aproximou a área do círculo de raio unitário usando polígonos regulares de 96 lados inscritos e circunscritos! Seu famoso resultado foi 3 10/71 < p < 3 1/7; mas como estas eram apenas aproximações, no sentido estrito, não eram quadraturas. Esta técnica refinou o método de exaustão, assim quando existe um número infinito de aproximações poligonais, chamamos de método da compressão. O processo de Arquimedes para encontrar a área de um segmento de uma espiral era comprimir esta região entre setores de círculos inscritos e circunscritos: seu método de determinar o volume de um conóide (um sólido formado pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era comprimir este sólido entre cilindros inscritos e circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia rigorosamente o resultado era o argumento da redução ao absurdo dupla.

No seu possivelmente mais famoso trabalho de todos, um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveispara estimar o centro de gravidade de certas regiões bidimensionais e de certos sólidos tridimensionais. (Arquimedes reconheceu que, por um lado, seu trabalho sugeria a verdade de seus resultados, e por outro faltava um rigor lógico completo). Se considerarmos uma destas regiões sendo composta de um número infinito de retas, de comprimentos variados, então estas retas são chamadas deindivisíveis. Similarmente, quando a composição de um sólido tridimensional é pensada como um número infinito de discos circulares, de raios variados, mas com espessura zero, então estes discos são conhecidos como indivisíveis.

Matemáticos muçulmanos dos séculos 9 a 13 foram grandes estudiosos de Arquimedes, mas nunca souberam da determinação de Arquimedes do volume de um conóide. Assim, um dos mais notáveis de todos matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826--901) desenvolveu sua própria cubatura, um tanto complicada, deste sólido; e então o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (século 10) simplificou consideravelmente o processo de Thabit. Ibn al-Haytham (965--1039), conhecido no ocidente como Alhazen e famoso por seu trabalho em ótica, usou o método de compressão para encontrar o volume do sólido formado pela rotação da parábola ao redor de uma reta perpendicular ao eixo da curva.

Durante o período medieval no ocidente, progresso foi obtido aplicando as idéias de cálculo a problemas de movimento. William Heytesbury (1335), um membro do notável grupo de estudiosos do Merton College, em Oxford, foi o primeiro a vislumbrar métodos para a determinação da velocidade e a distância percorrida por um corpo supostamente sob "aceleração uniforme". Hoje, podemos obter estes resultados encontrando duas integrais indefinidas ou antiderivadas, sucessivamente. Notícias deste trabalho de Heytesbury e seus colegas de Merton alcançaram Paris posteriormente no século 14 onde Nicole Oresme (1320--1382) representou ambas a velocidade e o tempo como segmentos de reta de comprimentos variáveis. Oresme colocou as retas de velocidade de um corpo juntas verticalmente, como os indivisíveis de Arquimedes, sobre uma reta base horizontal, e a configuração total, como ele a chamou, representava a distância total coberta pelo corpo. Em particular, a área desta configuração era chamada de "quantidade total de movimento" do corpo. Aqui temos precursores dos gráficos modernos e o nascimento da cinemática.

À medida que os europeus começaram a explorar o globo, tornou-se necessário ter um mapa do mundo no qual certas retas representassem rumos sobre