A história de ocorrência das integrais

Introdução

Para realizarmos um estudo completo sobre as origens, desenvolvimento e consequências do Cálculo, necessitaríamos de uma pesquisa muito extensa cujo resultado final seria um texto longo que estaria além do propósito deste trabalho. Nossa intenção no entanto é a de dar uma apresentação geral de alguns fatos importantes e acontecimentos históricos relacionados com a construção desta ferramenta da Matemática: o Cálculo. Além disso, gostaríamos de ressaltar que tal ferramenta é resultado de contribuições de muitos personagens, como ocorre, de modo geral, com o conhecimento humano. As contribuições dos matemáticos para o nascimento do Cálculo são inúmeras. Muitos deles, mesmo que de forma imprecisa ou não rigorosa, já utilizavam conceitos do Cálculo para resolver vários problemas. Como não havia uma sistematização para uma construção logicamente estruturada, a união das partes conhecidas e utilizadas até então, aliada ao desenvolvimento e aperfeiçoamento das técnicas deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

Passo 1

História do surgimento das Integrais

O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o cálculo integral estuda dois operadores lineares relacionados:

A integral indefinida, também chamada de antiderivada, que é o processo inverso da derivada.

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

O Teorema Fundamental do Cálculo estabeleceu uma conexão entre dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, a área. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss). Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado(m²).

História da Integral:

A história mostra que o cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Para muitos matemáticos, cientistas e engenheiros a integral simplifica os problemas complicados. Historicamente, existem inúmeras contribuições dos matemáticos no cálculo, tais como a de Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) que foi quem executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas(Lua em latim), Antiphon (cerca de 430 A.C.) afirmava que poderia "quadrar o círculo" ou encontrar sua área, usando uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos, Eudoxo (cerca de 370 A.C.) usou um método chamado de exaustão, Arquimedes (287--212 A.C.), conhecido como o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência. Seu mais famoso trabalho de todos, foi um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade, utilizou o método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número π(pi), porém, o que glorificou seu nome, entretanto, mais do que o cálculo de π(pi) por aproximações sucessivas foi o princípio fundamental da hidrostática, a que ele chegara pela mais simples observação da realidade. O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de ideias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada era da Ciência Moderna, o que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos, como mostra a figura abaixo.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas em termos práticos, a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Observamos que o conceito de integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma ideia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. A ideia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy, os estudos de Cauchy foram incompletos mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções. Por volta de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann realizou um estudo bem mais aprofundado sobre a integral e em sua homenagem a integral estudada por ele passou a receber o nome de Integral de Riemann, tal nome serve para distinguir essa integral de outras que foram introduzidas mais tarde, como por exemplo, a Integral de Lebesgue. Baseados nesses fatos e em muitos outros que não foram descritos neste trabalho muitos outros matemáticos, estudantes, cientistas, etc. trabalharam ao longo da história para construir o caminho que hoje facilita o cálculo integral em diversos ambientes, sendo usado assim como uma ferramenta de auxílio largamente utilizada em várias áreas do conhecimento humano e aplicado na solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Engenharia, Medicina, Química,

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