AD1 Métodos Estatísticos 2

1. [2,0 pontos] Em um processo de seleção para um programa de pós-graduação, os can-

didatos devem realizar um teste sobre conhecimentos gerais. A aprovação nesse teste é condição necessária para o candidato continuar no processo de seleção. Suponha que o tempo necessário para completar o teste seja distribuído segundo uma distribuição uniforme com média de 120 minutos e variância de 147 minutos2. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em menos de 105 minutos. No caso de não serem pre- enchidas todas as vagas disponíveis nessa primeira etapa, um candidato não aprovado poderá repetir o teste, desde que o seu tempo não tenha sido superior a 135 minutos.

(a) [0,5 ponto] Encontre a expressão da função de densidade da variável que representa o tempo de execução do teste.

P(T < 105) = P(Z < 105-120) = P(Z < -1,24) = P(Z > 1,24) = 0,5 - tab(1,24) = 0,1075

12,12

(b) [0,5 ponto] Se 200 candidatos se submeteram ao teste, quantos devem passar?

P(T < 105) = P(Z < 105-120) = P(Z < -1,24) = P(Z > 1,24) = 0,5 - tab(1,24) = 0,1075

12,12

200 pessoas : 200 . 0,1075 = 21,5 -- 21 candidatos

(c) [0,5 ponto] Qual é a probabilidade de um candidato não ser aprovado e poder repetir o teste, caso haja vagas sobrando?

P(105 < T < 135) = P(105-120 < Z < 135-120) = P(-1,24 < Z < 1,23) = tab(1,24) +

12,12 12,12

tab(1,23) = 0,7869

(d) [0,5 ponto] João não foi aprovado, mas as vagas não foram totalmente preenchidas.

Qual é a probabilidade de que ele possa repetir o teste?

P(T<135|T≥105) = P(105≤T≤135) = tab(1,24) + tab(1,23) = 1,29

P(T≥105) 0,6070

2. [2,0 pontos] Na Figura 1 é dado o gráfico da função de densidade fX de uma variável aleatória contínua X .

Figura 1 – Função de densidade para a Questão 2

(a) [1,0 ponto] Determine o valor de k e a expressão matemática de fX .

k≥0; a área total tem que ser 1

1 = (4 - 0) . k +1/2 . (6 - 4) . k -----> 1 = 5k ----> k= 1/5

Para x E [0,4], f(x) = 1/5

Para x E [4,6], f(x) = a + bx; pontos (4,1/5) e (6,0)

1/5 = a + b.4 ----------- 1/5 = 2b ------ b = 1/10 ------- a = - 3/5

0 = a + b.6 -----------

f(x) = 1/5; 0 ≤ x <4

(- 3 - x)/5; 4 ≤ x < 6

(b) [0,5 ponto] Determine a função de distribuição acumulada FX de X .

F(x) = x/5 0 ≤ x < 4

F(x) = 1 - 1/2 . (6 - x) . [(-3 - x)/5] = 1 - (x² - 3x -18) 4 ≤ x < 6

10

(c) [0,5 ponto] Determine o 90o percentil da distribuição da variável aleatória X .

(P90 - 1) . 1/5 = 1/90 ======> P90 = 5/90 + 1 =======> P90 = 1,05

3. [2,0 pontos] Seja X ∼ N(40; 52). Calcule:

(a) [0,4 ponto] P(X ≥ 46)

P(X ≥46) = P ( Z > 46 - 40 ) = P (Z > 1,2) = 0,5 - tab(1,2) = 0,5 - 0,3849 = 0,1151

5

(b) [0,4 ponto] P(X < 30)

P (X<30) = P (z < 30 - 40) = P (z < -2) = P(z > 2) = 0,5 - tab(2) = 0,5 - 0,4772 = 0,0228

5

(c) [0,4 ponto] P(32 < X < 42)

P(32 < X < 42) = P (32-40 < Z < 42-40) = P (- 1,6 < z < 0,4) = tab(0,4) + tab(1,6) =

5 5

= 0,1554 + 0,4452 = 0,6006

(d) [0,4 ponto] P(30 < X < 35)

P(30 < X < 35 ) = P (30-40 < Z < 35-40) = P (-2 < Z < -1) = P (1< Z < 2) = tab(2) - tab(1) =

5 5

= 0,4772 - 0,3413 = 0,1359

(e) [0,4 ponto] P[(X > 37, 5)

P(X > 37,5) = P(Z > 37,5-40) = P ( Z > -0,5) = 0,5 + tab(0,5) = 0,5 +0,1915 = 0,6915

5

4. [2,0 pontos] Seja X ∼ N(µ; σ 2).

(a) [0,4 ponto] Calcule P(X < µ − σ ) .

P(X < µ - σ) = P (X- µ > µ - σ - µ) = P(Z > -1)