APLICAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1 INTRODUÇÃO

As equações diferenciais constituem um dos mais notáveis sucessos do intelecto humano, tanto pra um corpo de teorias matemáticas como ferramenta de análise indispensáveis no exercício da atividade profissional e científica em diversas áreas da Física, Química, Biologia, Economia e Tecnologia Contemporânea.

O trabalho com aplicações de Equações Diferenciais, torna o estudo delas mais atraente na verificação de técnicas e conceitos. Além de possibilitar a expansão do universo cultural, pois tomamos conhecimento do tema. Para manipular as aplicações necessitamos de dados so universo que nos cincunda, para fazer interpretações e obter modelos matemáticos.

O objetivo do trabalho que segue é aplicar as Equações Diferenciais para realizar a estimativa do número de indivíduos com AIDS em santa Catarina para daqui a alguns anos. Para realização deste, é utilizada uma tabela com o número de casos de AIDS entre indivíduos com 13 anos ou mais, cuja fonte é o Ministério da Saúde.

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 SÍNDROME DA IMUNODEFICIÊNCIA ADQUIRIDA

2.1.1 CONCEITO DE SÍNDROME DA IMUNODEFICIÊNCIA ADQUIRIDA

A Síndrome da imunodeficiência adquirida (SIDA, normalmente em Portugal, ou AIDS, mais comum no Brasil) é o conjunto de sintomas e infecções em seres humanos resultantes do dano específico do sistema imunológico ocasionado pelo vírus da imunodeficiência humana (VIH, ou HIV segundo a terminologia anglo-saxónica).

2.1.2 VÍRUS DA IMUNODEFICIÊNCIA HUMANA

O HIV é um retrovírus, ou seja é um vírus com genoma de RNA, que infecta as células e, através da sua enzima transcriptase reversa, produz uma cópia do seu genoma em DNA e incorpora o seu próprio genoma no genoma humano, localizado no núcleo da célula infectada. O HIV é quase certamente derivado do vírus da imunodeficiência símia. Há dois vírus HIV, o HIV que causa a SIDA/AIDS típica, presente em todo o mundo, e o HIV-2, que causa uma doença em tudo semelhante, mais frequente na Africa Ocidental, e também existente em Portugal.

2.1.3 HISTÓRIA DA AIDS

Calcula-se que as primeiras infecções ocorreram na década de 1930. Julga-se que terá sido inicialmente contraído por caçadores africanos de símios que provavelmente se feriram a ao carregar o animal, sujaram a ferida com sangue infectado deste. O vírus terá então se espalhado nas regiões rurais lentamente, tendo migrado para as cidades com o início da grande onda de urbanização na àfrica nos anos de 1960.

Uma amostra sanguínea de 1959 de um homem de Kinshasa, república democrática do Congo, foi analisada recentemente e revelou-se soropositiva.

No Brasil os primeiros casos apareceram em 1982 em um grupo de homossexuais de São Paulo que contraíram a doença por terem viajado para zonas com alta incidência nos Estados Unidos.

2.2 APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA ESTIMATIVA DO NÚMERO DE INDIVÍDUOS COM AIDS EM SANTA CATARINA

2.2.1 APRESENTAÇÃO DA QUESTÃO

Uma das aplicações Das Equações Diferencias é o aperfeiçoamento de estimativas para o cálculo do número de indivíduos dentro de uma determinada população. Veremos essa aplicação em um contexto de evolução do número de casos de AIDS no Estado de Santa Catarina.

Para isso, iremos utilizar a equação , onde:

Q = população a ser estimada

Q0 = população inicial

t = período

k = constante

Tomaremos como fonte de dados a tabela a seguir:

Evolução do número de casos de AIDS em indivíduos

com 13 ou mais anos de idade em Santa Catarina

Ano 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Total de casos 8034 9575 11284 13030 14562 14940 17143 18050

Tabela 1 – Evolução do número de casos de AIDS em indivíduos com 13 ou mais anos em Santa Catarina

Fonte: Ministério da Saúde

2.2.2 RESOLUÇÃO DA QUESTÃO

Vamos considerar o tempo t anualmente. Com isso, t = 0 é 1999; t = 1 é 2000, e assim por diante. Como c = Q(0) = 8034, a equação para a taxa de crescimento populacional é (chamando de P a população a ser estimada):

P = 8034ekt

Vamos calcular o valor de k substituindo na equação os valores da tabela, de 2001 até 2006:

Para 2001 (t = 2), teremos:

Para 2002 (t = 3), teremos:

Para 2003 (t = 4), teremos:

4k

Para 2004 (t = 5), teremos:

Para 2005 (t = 6), teremos:

Para 2006 (t = 7), teremos: