Equações Diferenciais

Introdução

Uma equação diferencial ordinária é uma equação que relaciona uma função real de variável real e uma ou mais das suas derivadas. Procurar uma solução de uma equação diferencial é procurar uma função real de variável real que satisfaça a equação dada. As equações diferenciais podem surgir na forma explicita ou na forma implícita. Em muitas situações reais não pretendemos conhecer a lei que descreve um determinado problema, mas apenas escrever o comportamento das soluções desse problema. Noutras situações não é possível por meios analíticos obter a solução e o estudo qualitativo é essencial. O esboço do campo de direções associado à equação diferencial é um instrumento importante para o estudo qualitativo.

Neste pequeno trabalho procuraremos demonstrar umas das aplicações de equações diferenciais no cálculo de crescimento populacional, descreveremos também algumas de suas aplicações e desenvolvimento.

Desenvolvimentos:

Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante de Física Clássica, a segunda lei de Newton:

É na verdade uma equação diferencial de segunda ordem:

Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto.

No entanto, as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso, cada avanço no campo das equações diferenciais em geral é creditado a um matemático diferente (exceto por Leonhard Euler).

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x.

Equações diferenciais têm propriedades intrinsecamente interessantes tais como:

Solução pode existir ou não.

Caso exista, a solução é única ou não.

A ordem da equação diferencial é a ordem da derivada de maior grau que aparece na equação. A solução de uma equação diferencial de ordem n conterá n constantes.

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenômenos físicos tais como na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.

Problema:

Em uma cultura, há inicialmente x0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.

Resolução:

k-constante de crescimento

x(to) = x0 dx/dt =kx

x(t1) = 3/2 x dx/x=kdt

Integrando com relação à “x” a equação acima, temos:

∫dx/x = ∫ kdt

lnx = kt + c

lnx – lnc = kt

ln x/c = kt

e^kt = x/c

x = c.e^kt

Para x(0) = x0 equação anterior fica da seguinte forma:

x = c.e^0

x = 0

Voltando para a equação e substituindo o valor de c,

x = x_0 e^kt

Para descobrirmos o valor de k, utilizamos,

x(1) = 3/2 x_0

3/2 x_0 = x_(0.) e^(k.1)

3/2 = e^k

ln 3/2 = k

k = 0, 4055

Voltando novamente a equação, temos,

x = x_0 e^kt

x = x_0 e^0,4055t

Para que o número de bactérias triplique,

3x_0 = x_0 e^0,4055t

3 = e^0,4055t

Ln3 = 0,4055t

0,4055t = 1,098612

t = 2, 7092

Serão necessárias 2,71 horas aproximadamente.

Considerações:

Vimos com o estudo deste pequeno trabalho, que as equações diferenciais são de grande importância para a resolução de cálculos simples e complexos,vimos também que sua aplicação é utilizada em várias áreas do conhecimento,como engenharia ,física ,matemática.

Portanto dominar os conhecimentos das equações diferenciais é de suma importância para o bom desenvolvimento dentro do curso de engenharia civil.

Referências Bibliográficas:

Figueiredo, D. G., Equações Diferenciais Aplicadas, IMPA, 12o. Colóquio Brasileiro de Matemática, (1979), Rio.

Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - William E. Boyce; Richard C. DiPrima

Equações Diferenciais, (2 vols.) - Zill, Dennis; Cullen, Michael S.

Artigos,e textos retirados via internet.