APLICAÇÕES DERIVATIVAS

APLICAÇÕES DA DERIVADA

Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o

coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta, vamos explorar este fato e desenvolver

técnicas para o uso de derivadas para auxiliar a construção de gráficos. Estão incluídas, também, as

aplicações da derivada a problemas típicos envolvendo máximos e mínimos, taxas de variação e

cálculo de limites, que tem aplicações práticas nos mais diversos campos, como geometria,

engenharia, física, biologia e economia. Na verdade, podemos resumir tudo isto dizendo que a

derivada constitui uma ferramenta poderosa para o estudo e análise de funções.

Cabe observar que o conteúdo apresentado nesta seção não é exaustivo e o enfoque

pretendido é, na medida do possível, eminentemente prático. Por outro lado, o leitor interessado em

aprofundar sua base teórica, conhecendo os detalhes, os teoremas e as demonstrações que dão

embasamento a este conteúdo deve consultar os livros de cálculo tradicionais.

Taxas de variação ou taxas relacionadas

Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de

problema de taxas relacionadas. Assim, se uma variável x é função do tempo t, a taxa de variação

de x em relação ao tempo é dada por dt

dx . Quando duas ou mais variáveis, todas função de t, são

relacionadas por uma equação, a relação entre suas taxas de variação pode ser obtida diferenciando

a equação em relação a t.

Em problemas com taxas relacionadas, as variáveis têm uma relação específica para os

valores de t, onde t é a medida do tempo. Essa relação é usualmente expressa na forma de uma

equação. Os valores das variáveis e as taxas de variação das variáveis em relação à t são

freqüentemente dados num determinado instante. Considere o exemplo a seguir:

Exemplo:

Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de

raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 m3

/min. Com que velocidade o nível da água estará se

elevando quando sua profundidade for de 5 m?

Solução:

Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do

tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície

da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min.

Em qualquer instante, o volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone

(Fig. 1).

Fig 1. Tanque na forma de um cone

r h

3

1 V t 2 ⇒ ( ) = π

V, r e h são todas funções de t. Como a água está fluindo no tanque a uma taxa de 2 m3

/min,

min

( ) 3 m2

dt

dV t = . Queremos determinar

dt

dh quando h = 5m. Para expressar r em termos de h, temos,

dos triângulos semelhantes,

h

4

1

r

16

4

h

r = ⇒ =

Logo,

3

2

h

48

1 h V t

4

h

3

1 V t π ⎟ ⇒ = π ⎠

⎞ ⎜

⎝

⎛ ⇒ ( ) = ( )

Então,

dt

dh h

16

1

dt

dV 2 = π

Substituindo 2

dt

dV