ATPS MATEMATICA

SEGUNDO DESAFIO

• Etapa N° 1

Conceito de limites

O conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

História dos limites

Por vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso sentido moderno é um produto do iluminismo na Europa no final do século 18 e início do século 19, e nossa definição moderna tem menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de limite foi usada rigorosamente e corretamente.

A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distância finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de Zenão foi que o movimento era impossível! Aristóteles (384--322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão.

Já Arquimedes (287--212 a.C.) para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes encontrou várias séries infinitas - somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que agora chamamos de limites.

Problemas envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durante o século 17, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas tangentes a certas curvas. Descartes tinha um processo que usava raízes duplas de uma equação auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--1704). Já René de Sluse (1622--1685) inventou um método ainda mais complicado para obter tangentes a curvas. Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas não foi.

No século XIX, Augustin Louis Cauchy estava procurando uma exposição rigorosamente correta do Cálculo para apresentar a seus estudantes de engenharia na École Polytechnique de Paris. Conforme nos relata KAPLAN (1972);

“Cauchy começou seu curso com uma definição moderna de limite. Em suas notas de aula, Cauchy usou o limite como a base para a introdução precisa do conceito de continuidade e de convergência, de derivada, de integral. Entretanto, para Cauchy tinham passado despercebidos alguns dos detalhes técnicos.”

Entre 1840 e 1850, enquanto era professor da High School, Karl Weierstrass determinou que a primeira etapa para corrigir esses erros deveria começar pela definição de limite de Cauchy em termos aritméticos estritos, usando-se somente valores absolutos e desigualdades.

Propriedades dos limites

Propriedade 1 – Limite da soma (subtração) de duas ou mais funções - Será a soma dos limites de cada função.

Exemplo:

Propriedade 2 - Limite do produto de duas ou mais funções - Será o produto dos limites de cada função.

O limite do produto é o produto dos limites.

Exemplo:

Propriedade 3 – Limite do quociente - Será quociente entre os limites de cada função.

Exemplo:

Propriedade 4 - Limite do produto de uma constante por uma função - Será o produto da constante pelo limite da função. Seja uma constante.

Exemplo:

Propriedade 5 - Limite da potência - Será a potência do limite.

Exemplo:

Propriedade 6 - Limite da raiz - Será a raiz do limite.

Exemplo:

Propriedade