ATPS Matemática Aplicada

Técnicas de derivação; aplicações das derivadas nas áreas econômicas e administrativas.

Funções Marginais

Custo Marginal

Custo marginal é a mudança no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade produzida. Por outras palavras, podemos ainda dizer que o custo marginal representa o acréscimo do custo total pela produção de mais uma unidade. É interessante que economistas e administradores tenham o interesse em trabalharem com o custo marginal, pois assim eles podem analisar como variam os custos em determinados níveis de produção na medida em que ocorrem variações nas quantidades produzidas.

Matematicamente, a função de custo marginal (Cmg) é expressa como a derivada da função de custo total (CT) sobre a quantidade total produzida (Q), como segue:

Receita Marginal, Lucro Marginal, Custo Médio Marginal e Produção Marginal

A receita marginal dá a variação da receita correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto, assim podemos calcular o lucro para certo nível de produção ou venda e assim estabelecer o lucro marginal que dá a variação do lucro correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto.

A função receita marginal é obtida pela derivada da função receita:

Rmg = Função Receita Marginal = R’ (q)

E a função lucro marginal é obtida pela derivadada função lucro:

Lmg = Função Lucro Marginal = L’ (q)

Custo médio marginal

O custo médio marginal nos dá variação do custo médio de um produto correspondente ao aumento de uma unidade na produção dele.

Desta forma, temos:

Cmemg = Função Custo Médio Marginal = C’ me (q)

Que é a função Custo Médio Marginal obtido pela derivada da função Custo Médio.

Produção Marginal

Produção Marginal nos dá a variação da produção correspondente ao aumento de uma unidade na quantidade do insumo utilizado na produção. A função Produção Marginal é obtida pela derivada da função produção:

Pmg = Função Produção Marginal = P’ (q)

Elasticidade

Cada produto tem uma sensibilidade específica com relação ás variações dos preços a da renda. Essa sensibilidade ou reação pode ser medida por meio do conceito de elasticidade, genericamente, a elasticidade reflete o grau de reação ou sensibilidade de uma variável quando ocorrem alterações em outra variável.

Elasticidade - Preço da Demanda:

Elasticidade - preço da demanda:

É a resposta da quantidade demandada de um bem X ás variações de seu preço, ou, de outra forma, é a variação percentual na quantidade procurada do bem X em relação a uma variação percentual em seu preço, assim, de maneiras diferenciadas, a demanda por um produto é sensível à mudança dos preços.

Elasticidade – Renda da Demanda:

Podemos analisar também a variação da demanda e sua elasticidade em relação a outros fatorescomo, por exemplo, a produção, custos, oferta e renda. Se a demanda q é uma função da renda r, então a elasticidade – renda da demanda será dada por:

E= dq. r

dr q

Derivadas

Derivada é usada sempre que se quer estudar a variação de uma função em relação a uma de suas variáveis

Por exemplo os preços dos alimentos durante um mês. Suponha que você consiga

expressar o preço da cesta básica em função do dia do mês.

Se você derivar a função preço em relação ao dia, terá variação destes preços ao longo do mês, ou seja a inflação.

Se esta derivada for uma constante, significa que a inflação está estável.

Se a derivada for uma função do dia, a derivada desta derivada (derivada segunda do preço) vai dar a variação da inflação, ou seja, se o índice de inflação está aumentando ou diminuindo.

Outro exemplo: você tem a equação da posição de um objeto em relação ao sistema de coordenadas.

Se derivar esta equação em relação a x, terá a variação de sua posição no eixo x, ou seja a componente x da velocidade do objeto. Se derivar em relação a y, terá a velocidade no eixo y. Se derivar a velocidade, terá a variação da velocidade, ou seja, a aceleração.

Exemplo de Derivadas

a) f(r) = r²

b) f(x) = 14 – ½ x –3

c) f(x) = ( 3x5 – 1) ( 2 – x4 )

d) f(x) = 7(ax² + bx + c )

e) f(t) =

f) f(s) = ( s² - 1 ) ( 3s-1 ) ( 5s² + 2s )

2. Resolução de Exercícios

Determine as Derivadas:

A) y= (5x2 + 2x)4

u= 5x2 + 2x y= u4

u’ = 10x + 2 y’= 4u3

y’= 4.(5x2 + 2x)3

y’=